Hola
Hola que tal, Sea \( A_1 \), \( A_2 \) · · · una sucesión de clases de conjuntos, tales que \( A_1 \subseteq{A_{n+1} } \) para cada \( n \).
1.) Suponga que para cada \( i \), \( A_i \) es un álgebra. Pruebe que \( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \) es también un álgebra.
¿Qué has intentado? Simplemente las propiedades de un álgebra involucran a un número finito de conjuntos. Dado que \( A_1 \subseteq{A_{n+1} } \) cualquier número finito de conjuntos está en algún \( A_n \); bastará usar que \( A_n\subset \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \) es álgebra.
Si no te sale vuelve a preguntar. Indica que has intentado.
2.) Suponga que para cada \( i \), \( A_i \) es un \( \sigma \)- álgebra. Pruebe que \( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \) no es necesariamente una \( \sigma \)- álgebra.
Considera:
\( A_n=\{A\in \Bbb N|A\subset \{1,2\ldots,n\}\text{ ó }A^c\subset \{1,2,\ldots,n\}\} \)
Comprueba que \( A_n \) es una \( \sigma \)-álgebra para cualquier \( n\in \Bbb N \).
Después comprueba que sin embargo \( A=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_n \) NO es \( \sigma \)-álgebra. Para ello por ejemplo verifica que \( B_n=\{2n\}\in A \) para todo \( n \), pero sin embargo \( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}B_n\not\in A \).
Saludos.
