Sea B un álgebra de boole finita. Probar que todo elemento de B se puede escribir como supremo de dos átomos.
Es verdadero y no está mal.
Insisto en que no es correcto que todo elemento se pueda escribir como supremo de
dos átomos. Intenta escribir en el ejemplo que puse \( \{a,b,c\} \) como supremo de dos átomos.
(Idea) En la aritmética todo todo entero positivo tiene una única descomposición en números primos.
Acá lo que se busca es algo 'parecido', pues expresar ese elemento de B como supremo de átomos. Por definición un átomo precede al cero (por eso no tiene sentido expresar al 0 como supremo de átomos).
Puedo pensar entonces a b como supremo de x e y, luego si x e y no son átomos, vuelvo a descomponer y expreso a x como supremo de \( x_1, x_2 \) lo mismo para y. Si estos no son átomos, el algoritmo deberá acabar puesto que B es finita y los \( x_i \) son los v-irreducibles de B.
Aclaración esta no es una prueba formal, ya que hay varias cosas que probar.
Sí, es correcta la idea, pero no te va a salir el supremo de
dos átomos en general. Siguiendo con la analogía aritmética, es como si dices que todo natural se puede expresar como producto de dos primos. Pero eso es falso, lo que es cierto es que todo natural se expresa como producto de un número finito de primos.
Imagina por ejemplo que tienes \( b=x \vee y \), donde \( x \) es un átomo pero \( y \) no lo es. Y ahora siguiendo el procedimiento que describes pones \( y=z \vee w \), donde ahora supón que \( z,w \) ya sí son átomos. Entonces te acaba quedando \( b=x \vee z \vee w \), supremo de
tres átomos, y no dos.
Esto es lo que pasa en el ejemplo anterior, puedes escribir \( \{a,b,c\} = \{a\} \vee \{b,c\} \), donde \( \{a\} \) és átomo, pero \( \{b,c\} \) no lo es. Y ahora si descompones \( \{b,c\} = \{b\} \vee \{c\} \) ya te queda descompuesto en átomos y te acaba quedando \( \{a,b,c\} = \{a\} \vee \{b\} \vee \{c\} \).
