Carlos, perdón, para saltarme mucha repetición de los mismos enlaces a los mismos textos en la búsqueda puse "alternative foundations mathematics pdf", y ahí sí que encuentras lo que decía. De lo que he mirado por encima de los primeros enlaces me ha parecido interesante el siguiente artículo de un tal Andrei Rodin:
https://philomatica.org/wp-content/uploads/2020/08/fom20.pdf
Lo miro en cuanto pueda, gracias.
Creo te has precipitado un poco en tu contestacion,
No lo creo. ¿A qué tendría que haber esperado?
no estoy seguro de que hablemos de lo mismo cuando yo digo que la lógica de segundo orden no es reducible a primer orden y cuando tú dices que toda la matemática es "formalizable" con ZFC, lo cual invalida 5 de tus 6 primeras contestaciones.
No es así. Tu has dicho:
Las matemáticas que se usan habitualmente, digamos el análisis, están basados en lógica de segundo orden o mayor,
Y yo te decía que esto es falso, y esto está antes de que usaras el verbo "reducir". Todas las matemáticas que se usan habitualmente en análisis y en la rama que quieras de la matemática se basan en, se formalizan con, usan, o como quieras llamarlo, la lógica de primer orden, la lógica de ZFC.
Si no me crees, teclea en google "foundations of mathematics pdf" y te saldrán los libros que le he enumerado antes a Masacroso, u otros similares, que, a distintos niveles, explican la fundamentación de las matemáticas, y dudo que encuentres alguno que siquiera mencione la lógica de segundo orden.
Y si quieres darle algún sentido preciso a "no ser reducible" que no coincida con "no ser formalizable", tendrás que precisarlo tú.
En la de lo que entiendo por mayor expresividad de las orden superior al primero pero pierden la completitud semántica aciertas,
Pues sería mejor que expusieras las cosas sin necesidad de obligar a quien te lee a tener que adivinar a qué te refieres.
y es curioso porque la irreductibilidad a la que me refiero está relacionada con esta pérdida. De manera que debes de estar de acuerdo en que las teorías que usan lógica de order mayor al primero no se pueden reducir por completo a este, ya que no son semánticamente completas tal como se expresan digamos por ejemplo en la construcción usual de los reales.
No le veo sentido a lo que dices (a falta de que precises tus afirmaciones). La construcción usual de los reales se lleva a cabo en ZF, usando lógica de primer orden como lógica subyacente.
Otra cosa es que puedas definir lenguajes de primer orden específicos para hablar de números racionales (distintos del lenguaje de la teoría de conjuntos) que no permitan cuantificar sobre subconjuntos, con lo que no permiten construir los números reales, pero eso es porque son lenguajes de primer orden que sólo permiten hablar de números y no de conjuntos, como le sucede al lenguaje de primer orden de la teoría de conjuntos. Eso es otra historia y me parece que la estás sobredimensionando.
Ahora bien tu cambias mi "reducibilidad" a "formalizabilidad", y si a lo que te refieres es que las matemáticas de los libros de texto habituales pueden ser codificadas o "simuladas" en principio mediante el lenguaje de conjuntos de ZFC(o de muchas otras alternativas, se menciona casi siempre ZF por tradición, por ser históricamente el primero...) eso está claro.
No creo que nadie considere que las matemáticas de libros de texto y no de libros de texto estén "simuladas" en ZFC. Los matemáticos hablan habitualmente de conjuntos, y en cualquier exposición informal de cualquier resultado matemático se asumen definiciones que reducen todo a conjuntos, y los axiomas de ZFC son simplemente los hechos que se suponen ciertos sobre los conjuntos sin demostración. Las matemáticas usuales consisten en decir: suponemos que existen unos conjuntos que cumplen estos axiomas, y partiendo de ahí definimos tales cosas y demostramos tales cosas. Y todo eso no es ni más ni menos que trabajar en ZFC, con independencia de que los teoremas se enuncien en el lenguaje formal de ZFC o en un lenguaje natural.
No estoy discutiendo eso, pero lo que también está claro es que se pierde mucho de la comprensión y de lo intuitivo de las construcciones más expresivas en orden superior, y en este sentido tampoco hay una reducibilidad a primer orden.
Lo tendrás claro tú, si es que sabes lo que quieres decir. Todas las construcciones que puedes encontrar en cualquier libro o texto de matemáticas son teoremas de ZFC, no "simulables" en ZFC en ningún sentido que tú sabrás cuál es, sino teoremas de ZFC, consecuencias lógicas de los axiomas de ZFC.
Hay una nueva construcción que se acaba pareciendo muy poco a aquello de lo que se parte. Y de hecho por eso casi ningún matemático se ocupa en la práctica de esas "traducciones", se dan por hechas en principio. A eso me refiero cuando aludo a qué no me parece que tales fundamentos de las matemáticas lo sean en realidad y quizás fuera mejor admitir que no hay ninguna garantía de consistencia o certeza en ese tipo de muletas psicológicas de algunos matemáticos como son ZFC y similares, en otras palabras el rigor formal no proporciona más seguridad sobre la consistencia matemática como un ente que la práctica empírica de la construcción constante intuitiva de las matemáticas o el chequeo cuidadoso de las pruebas particulares.
Pero nada de eso tiene nada que ver con una oposición entre lógica de primer orden o de órdenes superiores. Los teoremas de incompletitud valen para la lógica de cualquier orden, luego no arreglas nada cambiando ZFC por una teoría basada en la lógica de segundo orden. Lo de llamar a ZFC "muleta psicológica" también es algo muy subjetivo. ZFC es el patrón de rigor matemático, en el sentido de que un argumento matemático es riguroso si y sólo si el formalizable en ZFC o en alguna extensión con axiomas adicionales.
Por supuesto esto que digo es una opinión, y nadie tiene porqué compartirla,, pero me parecía que iba en sintonía con el artículo que cité (intentaré ver silo puedo subir en PDF)de una persona que habla de fundamentos de las matemáticas, sí(es decir filósofa), pero que es matemático también. Aunque creo que para Ivorra lo primero invalida lo segundo, y en eso pienso que exagera, si fuera así se lo debería aplicar a sí mismo, ya que sus digamos afiladas opiniones al respecto son filosofía pura.
Tendrás que precisar a qué opiniones te refieres, porque suelo distinguir claramente lo que son opiniones subjetivas mías de lo que está universalmente aceptado entre los matemáticos.
Espero que aclarar lo que yo entiendo por irreductibilidad del orden superior al primero mejore la fluidez del hilo.
Pues, indudablemente, sería bueno que lo aclararas.
PD:(No he entrado en la parte más psicológica acerca de la impertinencia y la ridiculez que admito yo inicié porque quizás distraiga de lo importante, pero si hay interés no tengo problema en recoger el guante.)
Bueno, no hay mucho que aclarar. La situación es muy simple. No me gusta entrar en hilos tuyos porque eres una de esas personas que habla sin saber realmente de qué habla y trata de disimularlo, y cuando ya es tan evidente que tu postura es incoherente y ya no puedes disimularlo, te pones nervioso y llevas la discusión a cuestiones personales. Me di cuenta de ello (y me sorprendió no haberlo notado antes) cuando después de haber tratado en muchos hilos sobre geometría diferencial y relatividad, se puso de manifiesto que no entendías la definición de variedad diferencial). Fue en ese momento cuando decidí evitar tus hilos, no por inquina, sino porque me es molesto tener que poner contra las cuerdas a alguien que no entiende de qué habla y no lo reconoce y que, por otra parte, no ha faltado al respeto a nadie, como es tu caso.
¿Te parece razonable iniciar un hilo con esta joya?
Tengo poca esperanza de respuesta por algún experto del foro en estos temas, no quisiera pensar nunca que por inquina quizás incluso merecida hacia el que suscribe, sino porque no es un tema grato para matemáticos necesitados de certezas sólidas e inquebrantables.
¿De verdad crees que es apropiado empezar lo que debería ser un debate puramente racional sobre una cuestión matemática o filosófica hablando de inquinas o acusando a un posible interlocutor de no querer enfrentarse a ciertos temas?
Es cierto que prefiero no debatir contigo, pero no porque te tenga inquina, sino porque, como no sabes de qué hablas exactamente, hay que tratar de encontrar un sentido a lo que dices, que no es que sea absurdo, sino que simplemente es un reflejo de cosas que has leído, pero deformado por tu falta de entendimiento del tema. Y ojo, que no digo que eso sea censurable: es perfectamente respetable que quieras conocer un poco de todo sin entrar en el fondo de las cosas. Yo sólo digo que no me gusta debatir con alguien así por lo que te he explicado, porque habría que hacerlo con mucho tacto para que no te sientas acorralado por tus incoherencias y, como no lo hago, acabas llevándolo todo al terreno personal, como sorprendentemente has hecho en este hilo antes incluso de que interviniera nadie más.
Por eso te digo que hablar de "inquinas" es ridículo (porque no es que me caigas mal, sino que no me gusta discutir con gente con tu carácter, completamente respetable, pero uno decide con quién se junta) e impertinente y de mal gusto, porque ésa no es forma de empezar un debate sobre nada (ni de reconducirlo a esos términos, aunque no se empiece así). Y la otra alternativa (sugerir que yo no querría participar porque me resulte incómodo tratar ciertos temas) es igualmente impertinente y de mal gusto (no es de recibo especular sobre las motivaciones de otro, sobre todo si es para presuponer mala intención) y, considerando la afirmación concreta, también ridícula. Ciertamente, me resulta incómodo este hilo, pero no por el tema, sobre el que podría dialogar con cualquiera que se preocupara únicamente de clarificar las cosas y no de disimular sus lagunas, sino por tu carácter.
Si intervine, te aseguro que sin la menor ilusión, fue porque lo que estabas afirmando de que las matemáticas modernas se basan en la lógica de segundo orden es rotundamente falso y eso no es filosofía ni una opinión mía. Todo lo contrario. Precisamente ZFC es el muro de contención que separa la matemática de la palabrería filosófica (que, según cuál sea, puede tener más o menos sustancia). Uno puede filosofar todo lo que quiera sobre ZFC o la lógica de orden 17, pero nada de eso alterará si una demostración matemática es o no correcta y rigurosa. Lo será si y sólo si se ciñe a los estándares de ZFC. Y eso no es ni una opinión personal ni filosofía. Eso lo comparten todos los matemáticos, incluso a quienes por un motivo u otro no les guste ZFC.
Pero creo que llegado este punto cualquier lector del hilo ya puede tener claro que si quiere considerar tu opinión, tendrá que hacerlo con pinzas, porque es una opinión filosófica que poco tiene que ver con lo que afecta a la fundamentación de las matemáticas.
Quede claro que nada de esto afecta a lo que ha dicho Masacroso. Él tiene su escepticismo sobre que ZFC proporcione una fundamentación seria a las matemáticas, pero eso es harina de otro costal. Yo estoy hablando de tu teoría de que la matemática moderna "se basa" en lógica de orden superior y que ZFC es una "simplificación" o "reflejo" o como quieras llamarlo, cosa que entiendo que él también te ha cuestionado, pero eso ya es cosa vuestra y yo no entro.
En este hilo has reproducido el comportamiento de hilos precedentes: usas términos vagos, como "reducible", "expresividad", etc., que no es que no vengan a cuento, sino que expresan vagamente cosas concretas que sin duda habrás leído en textos serios (o no tan serios, dado que hablamos de filosofía), pero que no puedes reproducir con coherencia porque no sabes de qué hablas, ni qué consecuencias o qué relevancia tienen las cosas de que hablas, pero luego resulta que es que no adivinamos correctamente, o que nos precipitamos en las respuestas, o que hacemos filosofía... como si se pudiera responder con precisión a vaguedades.
Me resulta incómodo dudar entre mencionarte las formalizaciones del análisis en fragmentos de la aritmética de Peano de segundo orden sólo por la sospecha de que puede ser el origen de algunas de las campanas que pareces haber oído sin saber dónde, cuando a lo mejor no tiene nada que ver y con ello no hago sino introducir más confusión cuando tú respondas asociando algo que tal vez desconozcas con otras cosas que has leído y que no tienen nada que ver, y lo mismo con otras cosas que podrían estar en el origen de tus vaguedades, pero que a ver quién podría saberlo.
Pero quiero insistir —con total sinceridad— que me parece muy respetable tu política de tratar de abarcar una extensa área de conocimiento al precio de renunciar a los detalles. No veas en mis palabras ninguna crítica a esto. Sólo digo que no me gusta debatir con alguien que hace eso y, a la vez, trata de disimular que no conoce los detalles de lo que dice y que eso le lleva a falsedades, malentendidos e incoherencias. Ahí ya podríamos entrar en terreno censurable, pero no soy yo quién para censurarte nada mientras no ofendas a otros participantes en el foro. Sólo digo que no me interesan tus hilos y, como tú mismo has sembrado la cuestión personal en éste, pues yo te aclaro todo lo referente a ella para que puedas cosecharlo.
Por eso termino aquí mi intervención, salvo que voy a ojear el pdf de Masacroso por si merece la pena que le diga algo sin abusar de su paciencia, ya que me parece que no le gusta mucho discutir sobre estas cosas y es algo también muy respetable.
