[Metro]

Buenas a todos! Se me presentaron dos dudas sobre el plano tangente y el teorema de la funcion implicita.

Entiendo que cuando tengo una funcion \( f(x,y,z): R^3 \rightarrow{R} \) expresada de forma implicita, \( f(x,y,z)=k \) me representa una SUPERFICIE DE NIVEL.
Cuando estoy hallando el plano tangente a un punto \( (x_0,y_0,z_0)\textrm{ tal que }f(x_0,y_0,z_0)=k \), estaría hallando el plano tangente a la superficie de nivel.
El concepto que tengo "de libro" sobre el plano tangente es que es que contiene a todas rectas tangentes a las curvas que pasan por ese punto. Hay alguna otra aplicación/utilidad que esté pasando por alto?


Por otra parte, el teorema de la funcion implicita me garantiza que en determinadas condiciones puedo despejar una variable en funcion de otras dos, por ejemplo, \( z=\phi (x,y) \).
Es correcto interpretarlo de la forma en que en un entrono de (a,b) mi superficie se comporta como una curva de nivel? Hay alguna relacion directa entre el plano tangente y este teorema?.

Desde ya, muchas gracias por leer

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas a todos! Se me presentaron dos dudas sobre el plano tangente y el teorema de la funcion implicita.

Entiendo que cuando tengo una funcion \( f(x,y,z): R^3 \rightarrow{R} \) expresada de forma implicita, \( f(x,y,z)=k \) me representa una SUPERFICIE DE NIVEL.
Cuando estoy hallando el plano tangente a un punto \( (x_0,y_0,z_0)\textrm{ tal que }f(x_0,y_0,z_0)=k \), estaría hallando el plano tangente a la superficie de nivel.
El concepto que tengo "de libro" sobre el plano tangente es que es que contiene a todas rectas tangentes a las curvas que pasan por ese punto. Hay alguna otra aplicación/utilidad que esté pasando por alto?

El plano tangente es el plano que "más se parece" a la función "cerca" del punto. Es la mejor aproximación lineal de la función cerca del punto. En muchos casos eso hace que localmente uno pueda trabajar con esa aproximación lineal.

Por otra parte, el teorema de la funcion implicita me garantiza que en determinadas condiciones puedo despejar una variable en funcion de otras dos, por ejemplo, \( z=\phi (x,y) \).
Es correcto interpretarlo de la forma en que en un entrono de (a,b) mi superficie se comporta como una curva de nivel? Hay alguna relacion directa entre el plano tangente y este teorema?.

Que puedas expresar \( z \) como función de \( x,y \) en un entorno de un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) de una superficie equivale a que el plano tangente en ese punto no es vertical, no es perpendicuar al plano \( XY \).

Saludos.