Hola.
Aquí dice que Fermat lo demostró
https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Mordell
pero no encuentro la demostración.
Saludos.
He visto que en
https://www.gaussianos.com/el-unico-es-el-26/ hablaron del tema ya hace unos años. Pero la demostración que supuestamente logró Fermat no la tenemos, y supongo que sería bastante diferente a la que allí se expone.
Le he dado vueltas estos días al tema y sólo he logrado divagar. Nada raro por cierto. Con lo cual lo dejaré de lado un tiempo. De todos modos, parece haber algo de lo más curioso y quizás dé pistas de cómo Fermat atacó el reto.
Tenemos que Fermat nos da esta ecuación \( x^2+2=y^3 \), diciéndonos que demostremos que sólo existe una única solución para x,y como naturales.
Des del principio había planteado sustituir \( x^2=y^2+8k \), para usarlo en la ecuación de Fermat a fin de obtener esta forma: \( y^2+8k+2=y^3 \). Entonces nos quedaba \( y^2(y-1)=2+8k=2(1+4k) \). Llegado aquí daba por hecho, sin demostrar
, que \( y-1=2 \). Por tanto, este punto es el que he intentado solventar. ¿Cuánto puede valer \( y-1=2j \)? Visto así me parece claro que según lo que nos propone Fermat habría que demostrarse que \( y-1=2 \), obviamente con \( j=1 \).
En todo caso, lo que sí apreciamos es que siguiendo el procedimiento que elaboré entonces obtenemos la siguiente ecuación polinómica, como como se llame
:
\( \displaystyle\frac{[1+4k]}{j}+8k=x^2 \)
Si tomamos las soluciones que nos da Fermat como únicas, entonces, lo primero es aceptar que \( j \) debería de ser \( 1 \), con lo cual nos queda esta ecuación:
\( [1+4k]+[8k]=x^2 \)
Lo curioso es que luego, la única solución que sería valida es aquella que \( k=2 \), la cual precisamente transforma esta ecuación polinómica en la ecuación pitagórica, \( a^2+b^2=c^2 \), con:
\( a^2=[1+4k]=y^2=9 \)
\( b^2=8k=x^2-y^2=16 \)
\( c^2=1+12k=x^2=25 \)
Es decir, la única solución del reto es la única sobre la cual la ecuación polinómica \( \displaystyle\frac{[1+4k]}{j}+8k=x^2 \) actúa como la ecuación pitagórica fundamental.
Puede darse, como nos ha mostrado Luís por ejemplo con \( k=151 \) e \( j=5 \), que el término \( \displaystyle\frac{[1+4k]}{j} \) sea un cuadrado. O también puede darse sin problemas que lo sea \( 8k \), por ejemplo cuando \( k=8, 8k=64 \). O simplemente que al sumar \( \displaystyle\frac{[1+4k]}{j} \) con \( 8k \), sin que éste último sea un cuadrado, dé un \( x^2 \); como ocurre con \( j=1, k=30: [1+4·30]+[8·30]=19^2 \). Sin embargo todas estas expresiones no son soluciones al reto de Fermat. Y curiosamente la única solución parece ser aquella donde se cumple la ecuación pitagórica fundamental; \( a^2+b^2=c^2 \), con:
\( a^2=[1+4k]=y^2=9 \)
\( b^2=8k=x^2-y^2=16 \)
\( c^2=1+12k=x^2=25 \)
Después de observar esto dicho, propongo transformar la ecuación que nos da Fermat \( x^2+2=y^3 \), en este sistema de 2 ecuaciones:
\( x^2=12k+1 \)
\( y^3=12k+3 \)
Por el momento, estoy barajando la posibilidad de que la única solución para \( y^3=12k+3 \) sea precisamente k=2. Pero estoy muy verde con ello aún; y lo voy a dejar unos días.
Un saludo!
