Mil gracias @delmar y @manooooh tanto por la ayuda como por la bienvenida!! Entendí a la perfección. Al parecer era mas simple de lo que parecía. Ahora estoy con este ejercicio. Agradecería un montón al que se tome el tiempo de leerlo.
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x+y} & \text{ si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{ si } (x,y) = (0,0) \end{cases} \]
Para estudiar la diferenciabilidad de la función parto estudiando la continuidad de la misma, ya que si pruebo que no es continua, no será diferenciable.
Entiendo que lo correcto para esto es probar la no existencia. Si mediante todas las tecnicas me resulta el mismo valor, este sería un
candidato. Pero para asegurarme de que sea en realidad el valor del limite, debo recurrir a la definición.
Ahora bien. El criterio que utiliza mi profesor es que si estamos estudiando el limite
en el origen, las coordenadas polares me aseguran tanto la existencia como la no existencia del limite. Si el límite me queda en función del angulo, no existe. Si obtengo un valor, el limite existe y vale eso.
¿Es esto correcto? Cabe aclarar que estudio ingenieria por lo que quizas no sea tan riguroso. Igualmente, esa duda la tengo hace bastante.
¿Las coordenadas polares tienen la misma validez que la definición cuando estamos estudiando la función en el origen?En fin, utilizando el criterio de mi profe, mediante coordenadas polares obtengo que la función es continua en el origen. No me asegura nada acerca de la diferenciabilidad.
Procedo calculando las derivadas parciales mediante la definición. Si estas no existen, mi funcion no es diferenciable.
Spoiler
\(
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} = \lim_{x \to 0}\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} \\
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \frac{1}{2}
\)
Como resultado, obtengo un valor, por lo tanto existen. Procedo a estudiar su continuidad.
Para eso derivo mi funcion a trozos. Si las derivadas son continuas, entonces puedo garantizar que la funcion es diferenciable en el punto. Si no son continuas, la funcion puede (o no) serlo.
Spoiler
\( \frac{\partial f}{\partial x} \) = \begin{cases} \frac{y}{(x+y)^2} & \text{ si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{ si } (x,y) = (0,0) \end{cases}
\( \frac{\partial f}{\partial y} \) = \begin{cases} \frac{x}{(x+y)^2} & \text{ si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{ si } (x,y) = (0,0) \end{cases}
Estudiando el limite obtengo que las derivadas parciales no son continuas. No tengo escapatoria, debo recurrir a la definición.
Spoiler
Usando la definición que escribí en mi primer mensaje...
\( f(a+h,b+k)-f(a,b)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \cdot h + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \cdot k + G(h,k) \cdot \sqrt{h^2+k^2} \\
f(h,k) = \frac{1}{2} \cdot h + \frac{1}{2} \cdot k + G(h,k) \cdot \sqrt{h^2+k^2} \\
\frac{h \cdot k}{h + k} = \frac{h + k}{2} + G(h,k) \sqrt{h^2+k^2} \\
-\frac{h^2+k^2}{2(h+k)} = G(h,k)\sqrt{h^2+k^2} \\
- \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{2(h+k)} = G(h,k) \\
\)
Tras reemplazar y demás, llego al siguiente resultado:
\(
\displaystyle\lim_{(h,k) \to (0,0)}G(h,k)= - \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{2(h+k)}
\)
Quizas esta pregunta sea obvia pero:
¿Puedo aplicar los métodos conocidos aquí para asegurar la no existencia del límite? (Aproximarme por rectas, parabolas, limites iterados...)
Nuevamente agradezco infinitamente su ayuda. Quizas sean básicas mis preguntas. En general nos enseñan de forma mecanica las cosas y a veces no quedan tan claras. Un saludo
