Tengo el siguiente ejercicio, del que he hecho el apartado a) que creo que es correcto el resultado y el apartado b) que no estoy seguta de si está bien o no. Me falta hacer el apartado c) que no se muy bien como se hace.
a)Halla la solución general implícita de la ecuación diferencial
\( \dot{x}=\displaystyle\frac{ax}{2(x^2-at)} \)
donde \( a\in{\mathbb{R}} \) es un parámetro.
b)Para \( a=-1 \) halla la solución maximal de dicha ecuación que satisface \( x(0)=1 \).
c)Para \( a=0 \), halla la derivada parcial de la solución general maximal \( \psi(t,t_0,x_0,a) \) de dicha ecuación en el punto \( (t, t_0, x_0, a)=(t, 0, 1, 0) \)
Para el apartado a) observar que es una ecuación escalar no autónoma. Vamos a comprobar si es exacta.
Sea \( P(t,x)=2(x^2-at) \) y \( Q(t,x)=-ax \) entonces \( P_t=-2a \) y \( Q_x=-a \), como las derivadas parciales cruzadas son distintas, la ecucación no es exacta y por lo tanto tenemos que buscar un factor integrante que haga que la ecuación no autónoma sea exacta para poder resolverlas.
Vamos a buscar un factor integrante dependiente de tex]x[/tex], si no lo encontramos, buscaremos uno dependiente de t. Sabemos que la ecuación del factor integrante es:
\( \displaystyle\frac{\varPhi'(x)}{\varPhi(x)}=\displaystyle\frac{1}{Q}(P_t-Q_x)=\displaystyle\frac{1}{-ax}(-2a+a)=\displaystyle\frac{1}{x} \)
Resolvemos la ecuación diferencial: \( x\varPhi'(x)-\varPhi(x)=0\Rightarrow{\varPhi(x)=x} \)
Multiplicamos la ecuación por el factor integrante y comprobomas que la ecuación es exacta para ver que el factor integrante esta bien calculado: \( (2x^3-2axt)\dot{x}-ax^2=0 \) entonces \( P(t,x)=2x^3-2axt \) y \( P_t=-2ax \), \( Q(t,x)=-ax^2 \) y \( Q_x=-2ax \). Como las derivadas parciales cruzadas son iguales la ecuación es exacta. Ahora hallamos la solución general implícita:
Sea \( F_{t}(t,x)=-ax^2 \) entonces \( F(t,x)=\displaystyle\int_{}^{}(-ax^2)dt+\mu(x)=-atx+\mu(x) \)
\( 2x^3-2axt=F_{x}(t,x)=-2atx+\mu'(x) \) y obtenemos que \( \mu'(x)=2x^3 \), integramos y obtenemos que \( \mu(x)=\displaystyle\frac{x^4}{2} \)
Por lo tanto, la solución general implícita es \( -atx^2+\displaystyle\frac{x^4}{2}=C \)
b) Para \( a=-1 \) tenemos que la ecuación es \( \dot{x}=f(t,x)=\displaystyle\frac{-1}{2}(x^2+t) \) que satisface \( x(0)=1 \).
Observar que \( f(t,x) \) es continua y \( C^{(1} \) por lo tanto existe una única solución del problema de valor inicial.
Como sabemos que la solución general de la ecuación es \( tx^2+\displaystyle\frac{x^4}{2}=C \) y \( x(0)=1 \) sustituimos y obtenemos que \( x(t)=\sqrt[ 4]{2} \) que es la solución maximal de nuestro problema de valor inicial ya que la solución es única.
c) Para este apartado tendríamos que la ecuación sería \( 2x^2\dot{x}=0 \) y la solución general implícita sería \( \displaystyle\frac{x^4}{2}=C \) y no sé como seguir
Un saludo y muchas gracias
