[Marckpc]

Hola, andaba atascado en este ejercicio, a ver si alguien me podría ayudar.

Sea \( f:\Bbb Z\to \Bbb Z \) tal que:

\( f(n)=\begin{cases}{3n+1}&\text{si }&n\text{ es impar}\\\dfrac{n}{2} & \text{si}& n\text{ es par}\end{cases} \)

definimos además \( \bar f:\Bbb R\to \Bbb R \) de tal forma que:

* \( \bar f|_{\Bbb Z}=f \),
* \( \bar f \) es continua en todo \( \Bbb R \),
* \( \bar f \) es derivable en al menos \( \Bbb R-\Bbb Z \).

Con todo esto definimos la sucesión \( \{a_n\}_{n\in \Bbb n} \), de tal forma que:

\( a_n=\displaystyle\int_{n-1}^{n}\sqrt{1+(\bar f'(x))^2}dx \)

Demostrar que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_n \) siempre diverge independientemente de la definición de \( \bar f \).

Muchas gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola, andaba atascado en este ejercicio, a ver si alguien me podría ayudar.

Sea \( f:\Bbb Z\to \Bbb Z \) tal que:

\( f(n)=\begin{cases}{3n+1}&\text{si }&n\text{ es impar}\\\dfrac{n}{2} & \text{si}& n\text{ es par}\end{cases} \)

definimos además \( \bar f:\Bbb R\to \Bbb R \) de tal forma que:

* \( \bar f|_{\Bbb Z}=f \),
* \( \bar f \) es continua en todo \( \Bbb R \),
* \( \bar f \) es derivable en al menos \( \Bbb R-\Bbb Z \).

Con todo esto definimos la sucesión \( \{a_n\}_{n\in \Bbb n} \), de tal forma que:

\( a_n=\displaystyle\int_{n-1}^{n}\sqrt{1+(\bar f'(x))^2}dx \)

Demostrar que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_n \) siempre diverge independientemente de la definición de \( \bar f \).

 Dado que \( \sqrt{1+a^2}\geq \sqrt{a^2}=|a|  \)tienes que:

\( a_n\geq \displaystyle\int_{n-1}^{n}|f'(x)|\geq \left|\displaystyle\int_{n-1}^{n}|f'(x)|dx\right|=|f(n)-f(n-1)| \)
 
 Ahora si \( n \) es par:

\( f(n)-f(n-1)=\dfrac{n}{2}-3(n-1)+1=-\dfrac{5}{2}n+4 \)

 Si \( n \) es impar:

\( f(n)-f(n-1)=3n-\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{5}{2}n-\dfrac{1}{2} \)

 Así que para \( n>2 \)

\(  a_n\geq n \)

 y por tanto la serie diverge.

Saludos.

[Marckpc]

Gracias, intenté escribirlo con Latex pero hubo un par de fórmulas con las que tuve dificultades, ya he estado mirando un poco más para hacerlo de forma correcta la próxima vez.
Un saludo y de nuevo muchas gracias.