[minizulecita]

Cordial saludo

Tengo la siguiente duda, de antemano, muchas gracias.

Tomar un intervalo de una unidad y partirlo en dos partes. Tomar la parte de la izquierda y partirla en dos. Continuar de esta manera, siempre partiendo en dos el segmento de la izquierda.
¿El proceso se termina en algún momento? ¿Podemos hablar del último segmento?

Yo creo que el proceso no termina, se sigue subdividiendo el intervalo (cada vez el de la izquierda) en infinidad de veces.

¿Podrías asignarle un valor a cada extremo de la derecha según la partición?
Por ejemplo, para el [0,1], al partirlo en dos obtenemos [0,1/2] y [1/2,1], ahora partimos en dos partes el [0,1/2], obteniendo [0,?] y [?,1/2], puedes continuar de esta manera…
Y si ahora tomamos un punto cualquiera entre el 0 y el 1, y partimos en dos el segmento [0,1], volvemos a partir el segmento en donde se encuentra el punto. Siguiendo este proceso indefinidamente, ¿ello quiere decir que en algún momento algún extremo coincide con el punto o podría suceder que nunca se logre tocar con un extremo el punto?

No entiendo cómo responder ante esta situación.
Muchas gracias

[Juan Pablo Sancho]

Bienvenido al foro minizulecita.
Es un poco más difícil, si los partes con igual longitud como haces cuando tengas la n-ésima partición te quedará \( I_n = [0,\dfrac{1}{2^n}] \).
Por ejemplo \( I_0 = [0,1] , \  I_1 = [0,\dfrac{1}{2}] , \  I_2 = [0 , \dfrac{1}{4}] = [0, \dfrac{1}{2^2}] \cdots \  I_n = [ 0, \dfrac{1}{2^n}] \)
El proceso en este caso no termina nunca, pero depende de como haces la partición del intervalo en general.

[minizulecita]

Gracias.

Yo creería que si se continua la partición, en la parte izquierda, el extremo derecho del intervalo no tomará nunca el punto que yo escoja porque siempre va a existir un número más grande que ese punto, pero más pequeño que 1. Yo dejaría el extremo izquierdo como 0.

No sé si esté bien.

[Juan Pablo Sancho]

Si el el proceso es infinito si que da lo que propones, matemáticamane pondríamos:
\( I_n = [0, \dfrac{1}{2^n}]  \) y nos quedaría \( [0] = \{0\} =\displaystyle  \bigcap_{n=0}^{+\infty} I_n  =  \bigcap_{n=0}^{+\infty} [0, \dfrac{1}{2^n}]  \)

El proceso final te daría \( \{0\} \)