Hola Buenos días,
Estaba viendo por ejemplo en el siguiente link la demostración de que la derivada direccional Se puede nmostrar como el producto escalar de el gradiente de la función por la dirección en concreto en que se quiera derivar
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Derivada_direccional#:~:text=En%20an%C3%A1lisis%20matem%C3%A1tico%2C%20la%20derivada,la%20direcci%C3%B3n%20de%20dicho%20vector.
Sin embargo la duda que tengo es porque no estoy del todo conforme cuando en la demostración se dice
\( v_x \cdot\displaystyle\lim _ {h '\to 0} \dfrac{ f( x+h ', y + V_y \cdot h ' / v_x ) - f( x, y + V_y \cdot h ' / v_x ) }{h'} = v_x \cdot \displaystyle\lim_{h '\to 0} \dfrac{{\partial f( x, y + V_y * h ' / v_x ) }}{{\partial x}} \)
Lo que se me ha ocurrido es hacer el desarrollo de Taylor de los dos términos del numerados y ahí se puede ver claramente que ese limite tiende a la derivada parcial respecto a \( x \) en el punto \( (x, y) \).
\( V_x \cdot \displaystyle\lim_{h ' \to 0} d\frac{ f( x, y) + \partial_x f \cdot h' + \partial_y f( x,y )\cdot v_y \cdot h'/_Vx + o_1 (h ') - f( x, y ) - \partial_y f(x,y) \cdot V_y \cdot h ' / V_x - o _ 2 (h')}{h'} = \partial_ x f( x, y ) [/b] \)
Lo que pasa es que para obtener el desarrollo de Taylor de varias variables se necesita definir el diferencial de primer orden en funciones de varias variables y para la obtención de este tambien se necesita resolver un límite de este estilo.
El problema está en que no veo que sea tan trivial que
\( \displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{ f( x+h , y + a* h ) - f( x, y+ a * h ) }{h} =\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{ f( x+h , y ) - f( x, y ) }{h} \) .
Agradecería cualquier ayuda que me de ideas de como poder verlo siendo un poco más riguroso.
¡ Muchas gracias de antemano!
