[Luis Fuentes]

Hola

 Propongo un problema (bastante típico) que pensé que ya había aparecido en el foro y me vino a la cabeza cuando contestaba otra pregunta.

 Es una ligera variante de la versión más usual.

 Dada la elipse de ecuación:

\( 3x^2+3y^2+2xy-4x-4y=0 \)

 (1) Halla el área máxima de los triángulos inscritos en ella.
 (2) Hallar los vértices de todos los triángulos que alcanzan ese área máxima.

Saludos.

[ancape]

Luis
El enunciado que expones tiene algunos años pero creo que sigue siendo de interés.

Últimamente me dedico a buscar problemas geométricos que parezcan interesantes y estén a mi nivel para pensar en ellos y así entretenerme un poco.

Buscar triángulos inscritos en una elipse de área máxima lo he visto en Internet en casos muy particulares aunque no sé si ya lo has resuelto y no he encontrado su publicación.
Te adjunto hoja de Geogebra con una solución parcial, eso sí, bastante general que da el tercer vértice para cada par de puntos de una elipse. Sigo pensando en como encontrar el par de punto de partida que den el trío de puntos buscado.

Spoiler

El método se basa en que fijados dos puntos X1, X2, si elegimos un nuevo punto P en la elipse y graficamos las áreas de los triángulos X1X2P en unos ejes formados por el eje mayor de la elipse y en ordenadas una perpendicular, la curva que recorre P’ que representa el área de X1X2P, es de grado 2, pues P recorre un lugar de grado 2 y P determina unívocamente P’. La curva recorrida por P’ es pues una cónica. Además es elipse pues no tiene puntos en el infinito.

Cinco puntos determinan una cónica, así pues elegimos P1,P2,P3,P4,P5 en la elipse y obtenemos la elipse (en verde) que determinan sus homólogos P1’,P2’,P3’,P4’,P5’. Buscamos el máximo de esta elipse T’, trazando las tangentes desde el punto del infinito del eje mayor de la elipse dada. El punto T proyección vertical de T’ sobre la elipse dada es el punto que hace X1X2T de área máxima.

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Propongo un problema (bastante típico) que pensé que ya había aparecido en el foro y me vino a la cabeza cuando contestaba otra pregunta.

 Es una ligera variante de la versión más usual.

 Dada la elipse de ecuación:

\( 3x^2+3y^2+2xy-4x-4y=0 \)

 (1) Halla el área máxima de los triángulos inscritos en ella.
 (2) Hallar los vértices de todos los triángulos que alcanzan ese área máxima.

 La idea es muy sencilla.

 De manera estándar se puede hallar unas ecuaciones de referencia que transformen la elipse en una isométrica a la original de ecuación canónica:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

 Mediante una dilatación, por ejemplo, \( y'=\dfrac{b}{a}y \) se transforma en una circunferencia:

\( x^2+y'^2=a^2 \)

 La dilatación multiplica las áreas por una constante; entonces basta calcular los triángulos de área máxima en la circunferencia, que trivialmente son los equiláteros y deshaciendo los cambios de referencia llevarlos a la cónica original.

Saludos.

[thadeu]

Hola Luis,

 Mediante una dilatación, por ejemplo, \( y'=\dfrac{b}{a}y \) se transforma en una circunferencia:

\( x^2+y'^2=a^2 \)

 La dilatación multiplica las áreas por una constante; entonces basta calcular los triángulos de área máxima en la circunferencia, que trivialmente son los equiláteros y deshaciendo los cambios de referencia llevarlos a la cónica original.

Esa dilatación a la que te refieres es una transformación a fin?
He visto muchas veces usar esa frase de transformación afin
Para hacer que una elipse se transfirme en una circunferencia, creo que tambien un cuadrilatero en un cuadrado.
Pero no supe nunca el sustento matemático en el que se apoyaban para entender esas transformaciones.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Esa dilatación a la que te refieres es una transformación a fin?
He visto muchas veces usar esa frase de transformación afin

Si. Una transformación afín es una transformación que lleva rectas en recta. Algebraicamente puede siempre escribirse como:

\( f\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}+A\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix} \)

siendo \( A \) una matriz \( 2\times 2 \).

Es fácil ver que al aplicar la transformación mutliplica las áreas por \( det(A) \).

Para hacer que una elipse se transfirme en una circunferencia, creo que tambien un cuadrilatero en un cuadrado.
Pero no supe nunca el sustento matemático en el que se apoyaban para entender esas transformaciones.

No estoy muy seguro de a que te refieres con el sustento matemáticos. ¿Sabes geometría analítica, es decir, introducir coordenadas y puntos en el plano?. Poco más hay que saber.

En este caso la transformación que yo decía es muy sencilla:

\( f(x,y)=(x,ky) \) con \( k \) un determinado valor

Intuitivamente encoger o estirar verticalmente la elipse pare convertirla en una circunferencia.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, Luis , te doy una posible respuesta solo siguiendo una lógica que me parece correcta, pero ya vere como te la planteo en ecuaciones.
Se que el triángulo inscrito en la circunferencia de área máxima es el equilatero, si ahora me propongo estirar en cualquier dirección un semieje, la lógica me indica que si planto vértice en una de las intersecciones el semieje menor con la elipse, la altura máxima la sigo teniendo constante creo, ahora la base del triangulo se ha estirado proporcionalmente a la relación b/a , Así si el área máxima \( ST_{circulo}=\frac34\sqrt3R^2 \),  si \( a =R \) el área máxima será \( ST_{elipse}=\frac34\sqrt3Rb=\frac34\sqrt3ab \)....


De todo esto a buenas a primeras me queda la duda, reitero, si siempre la altura es \( \frac32 a \),


Existen dos triángulos de área máxima y la ubicación de los puntos en el plano, primero imaginaría una posición horizontal del semieje mayor de la elipse, calcularía  la pendiente de los semiejes y efectuar una rotación con la arcotangente de ese ángulo, y una traslación con las coordenadas del centro de la elipse.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, Luis , te doy una posible respuesta solo siguiendo una lógica que me parece correcta, pero ya vere como te la planteo en ecuaciones.
Se que el triángulo inscrito en la circunferencia de área máxima es el equilatero, si ahora me propongo estirar en cualquier dirección un semieje, la lógica me indica que si planto vértice en una de las intersecciones el semieje menor con la elipse, la altura máxima la sigo teniendo constante creo, ahora la base del triangulo se ha estirado proporcionalmente a la relación b/a , Así si el área máxima \( ST_{circulo}=\frac34\sqrt3R^2 \),  si \( a =R \) el área máxima será \( ST_{elipse}=\frac34\sqrt3Rb=\frac34\sqrt3ab \)....


De todo esto a buenas a primeras me queda la duda, reitero, si siempre la altura es \( \frac32 a \),

Existen dos triángulos de área máxima y la ubicación de los puntos en el plano, primero imaginaría una posición horizontal del semieje mayor de la elipse, calcularía  la pendiente de los semiejes y efectuar una rotación con la arcotangente de ese ángulo, y una traslación con las coordenadas del centro de la elipse.

Esa es la idea que estaba explicando en mis mensajes anteriores. Pero no hace falta que el triángulo tenga sus alturas coincidiendo con eje alguno; si uno dilata una figura en una razón constante \( k \) en UNA dirección cualquiera, el área queda multiplicada por \( k \).

En general el área se transforma como indiqué aquí:

Si. Una transformación afín es una transformación que lleva rectas en recta. Algebraicamente puede siempre escribirse como:

\( f\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}+A\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix} \)

siendo \( A \) una matriz \( 2\times 2 \).

Es fácil ver que al aplicar la transformación mutliplica las áreas por \( det(A) \).

Saludos.

[Richard R Richard]

La idea es contestar sin leer las otras respuestas, no alienarse digamos, ahora que he leido, veo que redundo, pero bueno he probado que mi instinto a veces funciona.


Gracias
Saludos