[zorropardo]

Considere la sucesion definida por $$ a_{0}=1 , a_{1}=\cos \theta $$
$$ a_{n+1}=2a_{1}a_{n}-a_{n-1}, \forall n \geq{ 2}.$$
Sabiendo que $$\theta $$ es constante . Probar que: $$a_{n}=\cos (n\theta) \ \ ,  \ \  \forall n \geq{0}.$$

[delmar]

Hola

Hazlo por inducción, demuestra primero que es válido para n=2 y luego  para n+1 suponiendo que es cierto para n



Te muestro la última parte

n+1

Hay que demostrar :

\( a_{n+1}=cos ((n+1) \ \theta)=cos n \theta \ cos \theta-sen n \theta \sen \theta \)

Se sabe \( a_{n+1}=2a_1a_n-a_{n-1} \) suponiendo que es verdad hasta n

\( a_{n+1}=2cos \theta \ cos n \theta-cos ((n-1)\theta)=2cos \theta \ cos n \theta-(cos n \theta \ cos \theta+ sen n \theta \ sen \theta)=cos n \theta \ cos \theta-sen n \theta \sen \theta=.... \)

Completa y demuestra para n=2

Saludos

[zorropardo]

Muy bien, muy agradecido.