[thadeu]

Sea x un número real tal que $$cos(cosx)=x$$
Pruebe que $$cosx=x$$
Poseo una solución propia. Por lo que lo propongo con el objetivo de conocer nuevas soluciones.
Saludos y
tengan una bonita y feliz navidad!!

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( g(t) = t + \cos(t) \) entonces:
\( g(x) - g(\cos(x)) = x-\cos(\cos(x)) = 0 = g'(\theta) \cdot (x-\cos(x)) = (1-\sen(\theta)) \cdot (x-\cos(x))  \) como \( |\theta| \leq 1 < \dfrac{\pi}{2}  \) lo tenemos.

[thadeu]

Hola Juan Pablo
Es basicamente la misma solución que yo tengo
Aplicando el teorema del valor medio
Si alguien mas se anima, es bienvenido cualquier aporte

[Juan Pablo Sancho]

Lo probamos en \( [0,\dfrac{\pi}{2}] \) para \( [-\dfrac{\pi}{2},0] \) hacemos lo mismo la función es par.
como \( \cos'(t) = - \sen(t) < 0 \) para \( t \in  ]0,\dfrac{\pi}{2}[ \) tenemos:
Si \( x < \cos(x) \) entonces \( \cos(x) > \cos(\cos(x)) \).
Si \( x > \cos(x) \) entonces \( \cos(x) < \cos(\cos(x))  \).

[thadeu]

Hola Juan Pablo
Te presento mi solución para que me des tu punto de vista y si hay cosas por mejorar estaré gustoso de conocerlas.
Sea $$cosx=y$$
Entonces tenemos
$$cosx=y$$
Y $$cosy=x$$ queremos probar que $$x=y$$
Claramente $$x,y$$ estan en el intervalo $$[-1,1]$$  por simetria podemos suponer que
$$y>x$$ 
Y considerando la función $$f(t)=cost$$ que es continua en $$[x,y]$$ y derivable en $$(x,y)$$ 
Por en teorema del valor medio.
Existe t en (x,y) tal que
$$-sent=\displaystyle\frac{cosy-cosx}{y-x}=-\displaystyle\frac{y-x}{y-x}=-1$$
Es decir $$sent=1$$  esto es una contradicción ya que
 $$t\subset{(-1,1)}$$
PD.Me gusto esta solución por que es la primera vez que uso el TVM para resolver un problema.

[Juan Pablo Sancho]

Está bien, la verdad me gusta más que la que puse la verdad.