Dada la sucesión definida por \( a_1=1 \), y \( a_n=\frac1{3-a_{n-1}} \) si \( n\geqslant 2 \), demostrar que
a) \( a_n^2-3a_n+1\leqslant 0 \) para todo número natural \( n\geqslant 1 \).
b) La sucesión \( \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es convergente y calcular su límite.
Traté de hacerlo pero luego de un rato no sé cómo proseguir.
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El apartado a) se demuestra utilizando inducción. Pero es mejor re-escribir la hipótesis en a) completando cuadrados, tienes que \( a_n^2-3a_n+1=(a_n-1)^2-a_n \), lo que implica que
\( \displaystyle{
a_n^2-3a_n+1\leqslant 0 \iff (a_n-1)^2\leqslant a_n\tag1
} \)
En principio para que algo de todo esto tenga sentido debe darse el caso de que cada \( a_n \) está bien definido (es decir que \( a_n\neq 3 \) para todo \( n\geqslant 2 \)) y que \( a_n\geqslant 0 \) (ya que en (1) vemos que esto debe ser cierto necesariamente si queremos resolver el apartado a) del ejercicio), o dicho de otro modo, debe ser cierto que o bien \( a_n\in[0,3) \), o bien \( a_n>3 \) para todo \( n \). Sospecho lo primero así que vamos a intentar demostrar que \( a_n\in[0,3) \) para todo \( n\geqslant 2 \), para lo cual usaremos inducción:
1) Caso base: efectivamente tenemos que \( a_2=\frac1{3-1}=\frac1{2}\in [0,3) \).
2) Hipótesis inductiva: asumimos que \( a_n\in[0,3) \).
3) Paso inductivo: como \( a_{n+1}=\frac1{3-a_n} \), entonces si \( g \) es la función en \( \mathbb{R} \) definida por \( g(x):=\frac1{3-x} \) encontramos que si \( x\in[0,3) \) entonces \( g(x)\in [1/3,1) \), por tanto se cumple que \( a_{n+1}\in [0,3) \).
Por tanto es cierto que \( a_n\in[0,3) \) para todo \( n \), y por tanto la sucesión \( \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) está bien definida.
Ahora, volviendo al apartado a): para demostrar lo que nos piden vamos a utilizar inducción sobre \( n \) sobre la hipótesis inductiva \( (a_n-1)^2\leqslant a_n \). El caso base con \( n=1 \) es trivial, y en el paso inductivo tenemos que
\( \displaystyle{
\begin{align*}
a_{n+1}-1=\frac1{3-a_n}-1&=-\frac{2-a_n}{3-a_n}\\
\therefore\quad (a_{n+1}-1)^2\leqslant a_{n+1}&\iff (2-a_n)^2\leqslant 3-a_n\\
&\iff (1+(1-a_n))^2\leqslant 3-a_n\\
&\iff (1-a_n)^2 +1+2(1-a_n)\leqslant 3-a_n\\
&\iff (a_n-1)^2\leqslant 3-a_n-1-2+2a_n=a_n
\end{align*}
} \)
Por tanto el paso inductivo es cierto, y ya hemos demostrado a).∎
Ahora, para el apartado b), como ya hemos demostrado previamente que la sucesión \( \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) está acotada, para demostrar que es convergente es suficiente con demostrar que es monótona, es decir que \( a_n\leqslant a_{n+1} \) para todo \( n \), o bien que \( a_n\geqslant a_{n+1} \) para todo \( n \). Intenta resolver esta parte del ejercicio y dime si encuentras alguna dificultad.
