[cut]

Hola! Tengo el siguiente problema y estoy bastante confundido con el enunciado.

Sea $$X$$ el conjunto de sucesiones con elementos $$\pm1$$, esto es:

$$X=\{x=(x_1,x_2,x_3,…)|x_i\in\{\pm1\} \forall i\in\mathbb{N}\}$$

Sea $$\mathcal{F}=\{C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k}|k\in\mathbb{N},n_1,…,n_k\in\mathbb{N},a_1,…,a_k\in\{1,-1\}\} $$
donde

$$C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k} = \{x=(x_1,x_2,x_3,…)| x_{n_1}=a_1,…,x_{n_k}=a_k\}$$

Sea $$\mu $$ una medida en $$(X,\sigma(\mathcal{F})) $$ tal que

$$\mu(C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k})=2^{-k}$$

Para todo $$k\in\mathbb{N}, n_1,…,n_k\in\mathbb{N},a_q,…,a_k\in\{1,-1\}$$.
Mostrar que no existe otra medida $$\nu$$ en $$(X,\sigma(\mathcal{F})) $$ tal que $$\nu(F)=\mu(F)$$ para cualquiera $$F\in\mathcal{F}$$.

Ahora bien, el teorema de unicidad de medidas pide que la clase $$\mathcal{F}$$ sea estable bajo intersecciones finitas, que exista una sucesión creciente de conjuntos de la clase que tienda a $$X$$. En estas condiciones, cualquiera dos medidas que coincidan en $$\mathcal{F}$$ y sean finitas para todos los elementos de esa sucesión creciente, son iguales para todos los elementos de la sigma-álgebra que genera la clase $$\mathcal{F}$$.

No entiendo del todo la manera en la que se definen los conjuntos pues es muy confusa, y tampoco entiendo cómo probar el ejercicio, ya que el teorema pide una hipótesis para los elementos de la sucesión y luego aplica a todos los de la sigma álgebra.

Si alguien me pudiera ayudar lo agradecería un montón.
Un saludo!

[Masacroso]

Hola! Tengo el siguiente problema y estoy bastante confundido con el enunciado.

Sea $$X$$ el conjunto de sucesiones con elementos $$\pm1$$, esto es:

$$X=\{x=(x_1,x_2,x_3,…)|x_i\in\{\pm1\} \forall i\in\mathbb{N}\}$$

Sea $$\mathcal{F}=\{C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k}|k\in\mathbb{N},n_1,…,n_k\in\mathbb{N},a_1,…,a_k\in\{1,-1\}\} $$
donde

$$C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k} = \{x=(x_1,x_2,x_3,…)| x_{n_1}=a_1,…,x_{n_k}=a_k\}$$

Sea $$\mu $$ una medida en $$(X,\sigma(\mathcal{F})) $$ tal que

$$\mu(C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k})=2^{-k}$$

Para todo $$k\in\mathbb{N}, n_1,…,n_k\in\mathbb{N},a_q,…,a_k\in\{1,-1\}$$.
Mostrar que no existe otra medida $$\nu$$ en $$(X,\sigma(\mathcal{F})) $$ tal que $$\nu(F)=\mu(F)$$ para cualquiera $$F\in\mathcal{F}$$.

Ahora bien, el teorema de unicidad de medidas pide que la clase $$\mathcal{F}$$ sea estable bajo intersecciones finitas, que exista una sucesión creciente de conjuntos de la clase que tienda a $$X$$. En estas condiciones, cualquiera dos medidas que coincidan en $$\mathcal{F}$$ y sean finitas para todos los elementos de esa sucesión creciente, son iguales para todos los elementos de la sigma-álgebra que genera la clase $$\mathcal{F}$$.

No entiendo del todo la manera en la que se definen los conjuntos pues es muy confusa, y tampoco entiendo cómo probar el ejercicio, ya que el teorema pide una hipótesis para los elementos de la sucesión y luego aplica a todos los de la sigma álgebra.

Si alguien me pudiera ayudar lo agradecería un montón.
Un saludo!

Los conjuntos \( C_{n_1,\ldots ,c_n;a_1,\ldots ,a_n} \) se suelen denominar cilindros, son conjuntos de la forma \( C=\prod_{k\geqslant 1}B_k \) (ahí el \( \prod_{k\geqslant 1} \) representa un producto cartesiano infinito contable) con \( B_k\in 2^{\{-1,1\}} \) (con esta última notación me refiero al conjunto potencia de \( \{-1,1\} \)) tales que existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( B_n=\{-1,1\} \) para todo \( n\geqslant N \).

Ahora observa que \( \mathcal{F} \) es un álgebra, por tanto sería suficiente con demostrar que los valores que toma una medida en un álgebra determinan a la medida en la \( \sigma  \)-álgebra correspondiente.

[jesquinas]

Hola! Tengo el siguiente problema y estoy bastante confundido con el enunciado.

Sea $$X$$ el conjunto de sucesiones con elementos $$\pm1$$, esto es:

$$X=\{x=(x_1,x_2,x_3,…)|x_i\in\{\pm1\} \forall i\in\mathbb{N}\}$$

Sea $$\mathcal{F}=\{C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k}|k\in\mathbb{N},n_1,…,n_k\in\mathbb{N},a_1,…,a_k\in\{1,-1\}\} $$
donde

$$C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k} = \{x=(x_1,x_2,x_3,…)| x_{n_1}=a_1,…,x_{n_k}=a_k\}$$

Sea $$\mu $$ una medida en $$(X,\sigma(\mathcal{F})) $$ tal que

$$\mu(C_{n_1,…n_k;a_1,…,a_k})=2^{-k}$$

Para todo $$k\in\mathbb{N}, n_1,…,n_k\in\mathbb{N},a_q,…,a_k\in\{1,-1\}$$.
Mostrar que no existe otra medida $$\nu$$ en $$(X,\sigma(\mathcal{F})) $$ tal que $$\nu(F)=\mu(F)$$ para cualquiera $$F\in\mathcal{F}$$.

Ahora bien, el teorema de unicidad de medidas pide que la clase $$\mathcal{F}$$ sea estable bajo intersecciones finitas, que exista una sucesión creciente de conjuntos de la clase que tienda a $$X$$. En estas condiciones, cualquiera dos medidas que coincidan en $$\mathcal{F}$$ y sean finitas para todos los elementos de esa sucesión creciente, son iguales para todos los elementos de la sigma-álgebra que genera la clase $$\mathcal{F}$$.

No entiendo del todo la manera en la que se definen los conjuntos pues es muy confusa, y tampoco entiendo cómo probar el ejercicio, ya que el teorema pide una hipótesis para los elementos de la sucesión y luego aplica a todos los de la sigma álgebra.

Si alguien me pudiera ayudar lo agradecería un montón.
Un saludo!

Los conjuntos \( C_{n_1,\ldots ,c_n;a_1,\ldots ,a_n} \) se suelen denominar cilindros, son conjuntos de la forma \( C=\prod_{k\geqslant 1}B_k \) (ahí el \( \prod_{k\geqslant 1} \) representa un producto cartesiano infinito contable) con \( B_k\in 2^{\{-1,1\}} \) (con esta última notación me refiero al conjunto potencia de \( \{-1,1\} \)) tales que existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( B_n=\{-1,1\} \) para todo \( n\geqslant N \).

Ahora observa que \( \mathcal{F} \) es un álgebra, por tanto sería suficiente con demostrar que los valores que toma una medida en un álgebra determinan a la medida en la \( \sigma  \)-álgebra correspondiente.

No acabo de ver los conjuntos C.No dejan de ser sucesiones con +1 o -1 en todos sus términos,o lo que los hace específicos es tener unos determinados 1 y -1 a priori en ciertas posiciones?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

No acabo de ver los conjuntos C.No dejan de ser sucesiones con +1 o -1 en todos sus términos,o lo que los hace específicos es tener unos determinados 1 y -1 a priori en ciertas posiciones?

Claro.  Por ejemplo \( C_{2,7;-1,1} \) serían todas las sucesiones \( \{x_n\} \) de unos y menos unos con \( x_2=-1 \) y \( x_7=1 \).

Saludos.

[cut]

Hola

No acabo de ver los conjuntos C.No dejan de ser sucesiones con +1 o -1 en todos sus términos,o lo que los hace específicos es tener unos determinados 1 y -1 a priori en ciertas posiciones?

Claro.  Por ejemplo \( C_{2,7;-1,1} \) serían todas las sucesiones \( \{x_n\} \) de unos y menos unos con \( x_2=-1 \) y \( x_7=1 \).

Saludos.

Creo que ya lo entiendo. Y cuál es entonces la filosofía del ejercicio? No entiendo cómo entra en juego la definición de la medida, ni el que haya que encontrar una sucesión creciente de conjuntos.