[Richard R Richard]

Hola

Otra de esas cosas que he leído, escuchado o visto era que un número perfecto no puede ser múltiplo de 105 , pero "creo" que no es verdad.

Si, es verdad. Lo tienes probado aquí  y también en uno de los artículos que adjuntos. En ellos puedes ver algunas condiciones necesarias que tendría que cumplir un número perfecto impar:

https://math.stackexchange.com/questions/236891/can-an-odd-perfect-number-be-divisible-by-105

Saludos.

Que raro, ayer a la noche postee un desarrollo a  cada una de las formulas de la respuesta mia #17 pero hoy no la veo publicada.


Lo de stackexchange "no me convence" la respuesta cuando justifica, dice que $$I>2$$ , cuando debe decir que $$I<2$$ para que no haya mas potencias ... luego desarrollo con mas tiempo.  SI es teorema(osea es cierto) no veo como es posible,  todavía no lei los otros adjuntos.

[Richard R Richard]

Analizando casos

Sean $$a,b,c,d, p_i$$ primos diferentes entre si , si no se indica están a la potencia 1 sino a la potencia $$e_i$$

Producto de primos
$$x_1=ab$$ caso ya conocido y analizado
$$\sigma_{(a)}=1+a$$
$$\sigma_{(x_1)}=\sigma_{(a)}\sigma_{(b)}$$

$$x_1'=a^2$$
$$\sigma_{(x_1')}=1+a+a^2=\dfrac{a^3-1}{a-1}=(\sigma_{(a)})^2-a$$


Cuadrado de primos

$$x_2=a^2b^2$$
$$\sigma_{(x_2)}=\sigma_{(a^2b^2)}\neq(\sigma_{(ab)})^2$$

$$\sigma_{(x_2)}=\sigma_{(a^2)}\sigma_{(b^2)}=((\sigma_{(a)})^2-a)((\sigma_{(b)})^2-b)=(\sigma_{(a)}\sigma_{(b)})^2-b(\sigma_{(a)})^2-a(\sigma_{(b)})^2+ab$$
Compuestos con factor en común
$$x=ab$$
$$y=ac$$

$$x_3=xy=a^2bc$$
$$\sigma_{(x_3)}=\sigma_{(a^2bc)}=\sigma_{(a^2)}\sigma_{(b)}\sigma_{(c)}$$
$$\sigma_{(x_3)}=\sigma_{(x)}\sigma_{(y)}-mcd(x,y)\sigma_{(mcm(x,y)/mcd(x,y))}$$
$$\sigma_{(x_3)}=\sigma_{(ab)}\sigma_{(ac)}-a\sigma_{(abc/a)}$$


Producto de compuestos de primos simples
resultado conocido generalización de 1

$$x_4=(a.b)(c.d)=$$
$$\sigma_{(x_4)}=\sigma_{(a)}\sigma_{(b)}\sigma_{(c)}\sigma_{(d)}$$


Casos más sencillos de la fórmula de Euler $$N=a^{4k+1}M^2$$ con $$M$$ compuesto

$$x_5=a(b^2)$$
$$\sigma_{(x_5)}=\sigma_{(a)}[(\sigma_{(b)})^2-b]$$


$$x_6=a(b^2c^2)$$
$$\sigma_{(x_6)}=\sigma_{(a)}(\sigma_{(b^2)}\sigma_{(c^2)})=\sigma_{(a)}((\sigma_{(b)})^2-b)((\sigma_{(c)})^2-c)=\sigma_{(a)}(\sigma_{(b)}\sigma_{(c)})^2-c(\sigma_{(b)})^2-b(\sigma_{(c)})^2+bc)$$


Un poco mas general

$$x_7=a^{4k+1}(b^2c^2)$$
$$\sigma_{(x_7)}=\dfrac{a^{4k+2}-1}{a-1}(\sigma_{(b)}\sigma_{(c)})^2-c(\sigma_{(b)})^2-b(\sigma_{(c)})^2+bc)$$


Exponentes pares cualesquiera

$$x_8=a^{4k+1}(b^{2i}c^{2j})$$
$$\sigma_{(x_8)}=\dfrac{a^{4k+2}-1}{a-1}\dfrac{b^{2i+1}-1}{b-1}\dfrac{c^{2j+1}-1}{c-1}$$


Fórmula general de Descartes demostrada por Euler (creo que varias veces cite mal el nombre)

$$x_9=a^{4k+1}\prod\limits_{i=1}^r p_i^{2e_i}=a^{4k+1}M^2 $$

$$\sigma_{(x_9)}=\dfrac{a^{4k+2}-1}{a-1}\prod\limits_{i=1}^r \dfrac{p_i^{2e_i+1}-1}{p_i-1}$$

[Richard R Richard]

Sobre si puede un perfecto impar ser multiplo de 105

Sabemos que un perfecto impar no puede ser de la forma $$N=3.5.7.M^2$$  pues $$(3,5,7)$$ tienen sigma par y al multiplicarse entre si dan por resultado un múltiplo de 8 cuando solo debe ser $$2N$$ con $$N$$ impar

Entonces elemento 2 de los 3 exponentes deben estar elevados a potencia par y solo uno a impar.

Vayamos al resultado mas simple preguntarnos si un primo a una potencia cualquiera puede ser un número perfecto

$$2N =2p^n=\prod\limits_{i=0}^np^i=(1+p+p^2+...+p^n)$$

Osea dividiendo por $$p^n$$

$$2=\dfrac{(1+p+p^2+...+p^n)}{p^n}$$

Para $$n=1$$ y $$p=3$$ se comprueba que

$$2>\dfrac{1+3}{3}=\dfrac{4}{3}$$

Definiendo $$I(p)=\dfrac{\sigma(p)}{p}$$  si $$\sigma(N)=2N$$ entonces $$N$$ es perfecto entonces si $$I=2$$ el número es perfecto.

Pero viendo que

$$\lim \limits_{n\to\infty} I(p^n)=1$$

$$I(p^{n})>I(p^{n+1})$$ Esto no es cierto entonces entre lo que sigue hay conclusiones falsas.

Falso aunque no todo

Entonces $$2>\lim \limits_{n\to\infty} I(p^n)=1$$  luego cualquier potencia de cualquier primo no puede ser un número perfecto.  $$1<I(p)<2$$

Veamos ahora lo siguiente
cuando es $$I(3)\cdot I(5)\cdot I(7)=\dfrac{4\cdot6\cdot8}{105}=\dfrac{192}{105}<2$$

Cualquier combinación de potencias superiores a 1 de "solo" esos tres números primos entonces tampoco será mayor a 2 nunca ni lo alcanzará,  por lo que uno puede aventurarse a decir que nunca un número perfecto puede ser un múltiplo de un número que contenga $$3,5,7$$ como factores, es decir no puede ser múltiplo de 105...

Pero creo se equivocan

Cualquier primo $$p$$ cumple  que $$I(p^n)>1 \ \forall n\in\mathbb N$$ para el caso particular de $$n=2$$

Luego $$\lim\limits_{i\to\infty}\prod I(p_i^2)=\infty$$ por ser una productoria de factores todo mayores a 1 ya que cada factor es

$$\dfrac{1+p_i+p_i^2}{p_i^2}=\dfrac{1+p_i}{p_i^2}+1>1$$

Entonces cualquier combinación finita de producto de primos que definan $$N$$ como

$$N=P_1^{4k_1+1} 3^{2k_2}5^{2k_3}7^{2k_4}\prod\limits_{i=0}^np_i^2\quad / \quad p_i\notin [2,3,5,7,P_1]$$ además acabo de leer que $$P_1\equiv 1\mod4$$ pues el exponente es entonces $$\sigma(N)$$ resulta divisible por 4  lo que indicaría que N es par marcando una contradicción.

Dados $$k_1,k_2,k_3,k_4\in\mathbb N \ \quad \exists n \in \mathbb N / \quad I(N)>2$$ luego puede haber múltiplos de $$105$$ que sean perfectos.

Pues $$2<\overbrace{\dfrac{\sigma(P_1^{4k_1+1})}{P_1^{4k_1+1}}\dfrac{\sigma(3^{2k_2})}{3^{2k_2}}\dfrac{\sigma(5^{2k_3})}{5^{2k_3}}\dfrac{\sigma(7^{2k_4})}{7^{2k_4}}}^{\to 1\text{ si }k_i\to\infty}\cdot \overbrace{\dfrac{\sigma(\prod\limits_{i=0}^np_i^2)}{\prod\limits_{i=0}^np_i^2}}^{\to\infty\text{ si }n\to\infty}$$

Hasta aquí mi conjetura, que me dicen está mal y no se donde puede estar mal. Ahora paso por los otros links, aver si me entero.


Edito

Spoiler

Los primeros 1000 primos ya pasan el valor 3 en la productoria de sus $$I(p)$$ cuando agregas cerca de 1 millón la productoria va por el valor $$8$$ , pero creo igualmente tiende a infinito aunque converja muy lentamente, son los primos mas pequeños los que aportan  mas a la productoria.

[cerrar]

[cerrar]

Lo cierto es que

$$2<\dfrac{\sigma(3^{2k_2})}{3^{2k_2}}\dfrac{\sigma(5^{2k_3})}{5^{2k_3}}\dfrac{\sigma(7^{2k_4})}{7^{2k_4}} \quad\forall k_2,k_3,k_4 \in \mathbb N$$  Ec1 y como

$$\dfrac{P_1^{4k_1+2}-1}{(P_1-1)P^{4k_1+1} } >1 \quad\forall k_1 \in \mathbb N $$ Ec 2

y $$\dfrac{\sigma(\prod\limits_{i=0}^np_i^{2e_i})}{\prod\limits_{i=0}^np_i^{2e_1}}=\dfrac{\prod\limits_{i=0}^n(p_i^{2e_i+1}-1)}{\prod\limits_{i=0}^np_i^{2e_1}(P_i-1)}>1 \quad \forall p_i\notin [2,3,5,7,P_1] \in \mathbb N $$ Ec 3

con $$N=P_1^{4k_1+1} 3^{2k_2}5^{2k_3}7^{2k_4}\prod\limits_{i=0}^np_i^{2e_i}\quad / \quad p_i\notin [2,3,5,7,P_1]$$ además acabo de leer que $$P_1\equiv 1\mod4$$ pues el exponente es entonces $$\sigma(N)$$ resulta divisible por 4  lo que indicaría que N es par marcando una contradicción.

la productoria de las 3 ecuaciones Ec 1 Ec2 y Ec3  resulta en $$X=(>2)(>1)(>1)$$ entonces $$X>2$$ para cualquier combinación y no podrá ser nunca igual a 2  condición necesaria y suficiente para que N sea perfecto, así que N no puede ser múltiplo de 3,5,7 a la vez luego no es múltiplo de 105.

Es decir el limites de cualquier factor $$\lim\limits_{e_i\to \infty}\dfrac{\sigma(p_i^{2e_i})}{p_1^{2e_1}}=\dfrac{p_i}{p_i-1}$$

para la productoria de esos factores para los primos 3 5 y 7  es $$\dfrac32\cdot\dfrac54\cdot\dfrac76=2.1875 \ \to \ X>2$$ por lo que cualquier combinación que tenga al menos un factor 3 5 y 7 a la vez su funcion sigma es mayor a 2N por lo que  N no puede ser perfecto , así que los números perfectos impares no son divisibles por 105, y claro está por sus múltiplos.

de esta manera hay otras combinaciones que hacen se pueda encontrar numero con características similares.

[Richard R Richard]

Un posible algoritmo de búsqueda y  evaluación se me ocurre del siguiente modo

Si $$N_o=p_k^{4k+1}\prod \limits_{i=1}^n p_i^{2e_i} $$

donde $$p_k\equiv 1\mod 4$$

además $$\sigma_{(N_o)}<2$$ es decir no es perfecto

para lograr un número perfecto se tiene agregar un primo adicional $$p_x$$

que cumpla que

$$N=p_k^{4k+1}\left[\prod \limits_{i=1}^n p_i^{2e_i} \right]p_x^{2e_x}=N_o p_x^{2e_x}$$


$$2N=\sigma_{(N)}=\sigma_{(N_o)}\sigma_{(p_x^{2e_x})}=\sigma_{(N_o)}\dfrac{p_x^{2e_x+1}-1}{p_x-1}$$

dividiendo por $$N$$

$$2=\dfrac{\sigma_{(N)}}{N}=I_{(N)}=\dfrac{\sigma_{(N_o)}}{N_o}\dfrac{\sigma_{(p_x^{2e_x})}}{p_x^{2e_x}}=I_{(N_o)}\dfrac{p_x^{2e_x+1}-1}{(p_x-1)p_x^{2e_x}}$$

entonces

$$\dfrac{2}{I_{N_o}}=\dfrac{p_x^{2e_x+1}-1}{p_x^{2e_x+1}-p_x^{2e_x}}=\dfrac{p_x^{2e_x+1}}{(p_x^{2e_x+1}-p_x^{2e_x}}-\dfrac{1}{p_x^{2e_x+1}-p_x^{2e_x}}$$

si $$e_x \to\infty$$ entonces $$\dfrac{2}{I_{N_o}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p_x}}$$

con lo que se puede estimar cual es el próximo primo que se puede emplear en la productoria $$p_{n+1}=entero(p_x)$$ y $$p_x>>1$$

haciendo   $$\dfrac{2}{I_{N_o}}-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p_{n+1}}}=-\dfrac{1}{p_{n+1}^{2e_{n+1}}(p_{n+1}-1)}\cong -\dfrac{1}{p_{n+1}^{2e_{n+1}+1}}$$

entonces aplicando logaritmo

$$\ln\left(\dfrac{2}{I_{N_o}}-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p_{n+1}}}\right)\cong(2e_{n+1}+1)\ln(p_{n+1})$$

$$e_{n+1}=entero\left[\dfrac{\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{I_{N_o}}-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p_{n+1}}}\right)}{\ln(p_{n+1})}-1}{2}\right]+1$$

con esos valores $$p_{n+1}$$ y $$e_{n+1}$$ se pueden explorar todos los valores menores a $$e_{n+1}$$ como posibles soluciones al numero primo perfecto.


Cualquier combinación de $$p_i$$ y $$e_i$$ cuyo $$\sigma(N)<2$$ es factible de aplicar nuevamente el algoritmo. 

No va a a haber casos en que se halle $$p_x$$ donde $$\sigma_{(N)}>2$$


Hay alguna falla a la  lógica de la búsqueda? Trabajar con enteros cada vez mas grandes no es problema.

[danizafa]

Hola, Algo hago mal
$$(15,15)=15$$


$$\sigma(15 \cdot 15) = \sigma(15) \cdot \sigma(15) \cdot \dfrac{15}{\sigma(15)}=24\cdot24\cdot\dfrac{15}{24}=360\neq403$$

Hola Richard.

He estado pensando en esto mucho, no particularmente en esa operatoria que vos planteas... Pero en ese caso, no es multiplicar los resultados de la función para cada uno de los factores, mas bien es multiplicar cada divisor de uno de los factores por el del otro... Esto pasa cuando multiplicas números iguales, por eso mi insistencia con el 1, pero vamos al lío...

$$\sigma(15 \cdot 15) = \sigma(15) \cdot \sigma(15)$$

$$1\cdot1=1$$
$$1\cdot3=3$$
$$1\cdot5=5$$
$$1\cdot15=15$$
$$3\cdot1=3$$
$$3\cdot3=9$$
$$3\cdot5=15$$
$$3\cdot15=45$$
$$5\cdot1=5$$
$$5\cdot3=15$$
$$5\cdot5=25$$
$$5\cdot15=75$$
$$15\cdot1=15$$
$$15\cdot3=45$$
$$15\cdot5=75$$
$$15\cdot15=225$$

Todos esos productos tendríamos si multiplicaramos cada divisor del primer factor por los divisores del segundo y la suma de todos ellos daría $$576$$.
Pero, para llegar de esta manera al resultado, hay que filtrar cada producto que es igual que uno ya calculado, es decir que llegan al mismo divisor que llego un calculo anterior, y queda esto:

$$1\cdot1=1$$
$$1\cdot3=3$$
$$1\cdot5=5$$
$$1\cdot15=15$$

$$3\cdot3=9$$
$$3\cdot15=45$$

$$5\cdot5=25$$
$$5\cdot15=75$$

$$15\cdot15=225$$

Y quedan todos los divisores distintos del $$225$$, que si los sumás arroja $$403$$ de resultado.

En definitiva, el producto de dos funciones sigma no es compatible con el producto de sus resultados... Para mostrarlo, basta un ejemplo. La suma de divisores de 4 es 7, sin embargo si lo descompones en un producto de $$2\cdot2$$ y tratas de multiplicar no te da el mismo resultado.

$$\sigma(4) = \sigma(2) \cdot \sigma(2)$$
$$\sigma(4) = 3 \cdot 3$$
$$\sigma(4) \neq 9$$

$$1\cdot1=1$$
$$1\cdot2=2$$
$$2\cdot1=2$$
$$2\cdot2=4$$

Si sumamos los productos entre todos los divisores de ambos números, llegamos al resultado que llegamos haciendo el producto de los valores de sigma de cada número...

Pero si vemos, hay un divisor repetido, ese no debe sumarse. Y al omitirlo:

$$\sigma(4)=1+2+3=7$$

Saludos!

AGREGADO:
En cuanto a la función que ponés, tampoco se qué valor debería ir en el denominador en este caso... Con coprimos funciona bien, pero si aplicas de esa manera con $$2\cdot2$$ arroja $$6$$ de resultado. $$4\cdot2$$ arroja $$14$$.

[Richard R Richard]

$$\sigma_{(a^2)}=1+a+a^2=\dfrac{a^3-1}{a-1}=(\sigma_{(a)})^2-a$$

$$\sigma(2)=3$$

$$\sigma_{(2^2)}=1+2+2^2=\dfrac{2^3-1}{2-1}=(\sigma_{(2)})^2-2$$

$$\sigma_{4)}=7=\dfrac{8-1}{1}=(3)^2-2$$

la fórmula funciona.

Para cada caso hay que ver si  los factores tienen divisores comunes, si  no los hay, la función sigma es el producto de sus sigmas, pero si hay factores comunes es


$$\sigma_{(x.y)}=\sigma_{(x)}\sigma_{(y)}-mcd(x,y)\cdot \sigma\left(\dfrac{mcm(x,y)}{mcd(x,y)}\right)$$

[danizafa]

Claro, entonces tenedrías que restar:

$$3+5+15+15+15+45+75=173$$

al cálculo que te da 576:

$$\sigma(15 \cdot 15) = \sigma(15) \cdot \sigma(15) \cdot \dfrac{15}{\sigma(15)}=24\cdot24\cdot\dfrac{15}{24}=360\neq403$$

$$\sigma(15 \cdot 15) = \sigma(15) \cdot \sigma(15) =576$$

y llega a los $$403$$

Todavía me falta cancha escribiendo acá.

[Richard R Richard]

Claro, entonces tendrías que restar:

$$3+5+15+15+15+45+75=173$$

al cálculo que te da 576:

$$\sigma(15 \cdot 15) = \sigma(15) \cdot \sigma(15) \cdot \dfrac{15}{\sigma(15)}=24\cdot24\cdot\dfrac{15}{24}=360\neq403$$

$$\sigma(15 \cdot 15) = \sigma(15) \cdot \sigma(15) =576$$

y llega a los $$403$$

Todavía me falta cancha escribiendo acá.

Claro, así es,  así se llega a 403, de eso va este hilo de ver las relaciones de la función sigma de un número N , con la función sigma de los números primos y sus exponentes que son los factores en la descomposición de todo número como productoria de factores primos, para poder aprovechar en caso de que se pueda ese conocimiento para hacer un análisis sobre cómo es posible pronosticar la existencia de algún número perfecto o , llegar a algún absurdo donde se refute la idea, con mis pocos conocimientos dificulto que logre algún avance importante, pero me es entretenido y de eso también se trata.

[danizafa]

Claro, así es,  así se llega a 403, de eso va este hilo de ver las relaciones de la función sigma de un número N , con la función sigma de los números primos y sus exponentes que son los factores en la descomposición de todo número como productoria de factores primos, para poder aprovechar en caso de que se pueda ese conocimiento para hacer un análisis sobre cómo es posible pronosticar la existencia de algún número perfecto o , llegar a algún absurdo donde se refute la idea, con mis pocos conocimientos dificulto que logre algún avance importante, pero me es entretenido y de eso también se trata.

En ese sentido creo que no hace falta llegar al absurdo... Estoy tratando de armar la demostración... Pero por ahí me veo envuelto en algunas cuestiones que no se cómo explicarlas como demostración... Hay una cuestión por la que no puede darse un número perfecto impar, lo expuse en mis otros hilos... Pero viene de toda la mezcla de conceptos que metí y por ello no se entendió lo que quise decir...

Sin embargo, yo sostengo mi teoría de que, si hay un número perfecto impar, es el 1 jajaja...

Si descomponés cualquier número primo p en sus factores:

$$p=p^0\cdot{p^1}$$

Es decir, el 1 no es factor per se, sino que lo es por el hecho de que todo número elevado a la 0 tiene ese resultado.

$$2=2^0\cdot{2^1}$$
$$7=7^0\cdot{7^1}$$

Entonces, para mí, el 1 debería seguir ese mismo criterio, siendo:

$$1=1^0\cdot{1^1}$$

Y, en definitiva, esto no afecta a ninguna productoria entre funciones sigmas y en ningún otro aspecto.

Es discutible? Para mi lo es. Si vos haces una división de la misma manera que lo haces para otros números:

$$1/1=1$$

En cuanto a las potencias mayores a $$1^1$$, estas factorizadas deben reducirse a la mínima expresión, que es $$1^1$$. Y tiene dos factores.

En cuanto a lo demás, el producto entre factores primos, da un resultado igual al del valor de la función sigma del número compuesto, por lo que no importa como factorices, nunca llegarás a un valor que sea igual a $$2n$$.


Si, yo también lo hago por entretenimiento.

Como el script que busca números perfectos. En 42 segundos me revisa hasta $$2^{5000}$$

[Richard R Richard]

Claro, así es,  así se llega a 403, de eso va este hilo de ver las relaciones de la función sigma de un número N , con la función sigma de los números primos y sus exponentes que son los factores en la descomposición de todo número como productoria de factores primos, para poder aprovechar en caso de que se pueda ese conocimiento para hacer un análisis sobre cómo es posible pronosticar la existencia de algún número perfecto o , llegar a algún absurdo donde se refute la idea, con mis pocos conocimientos dificulto que logre algún avance importante, pero me es entretenido y de eso también se trata.

En ese sentido creo que no hace falta llegar al absurdo... Estoy tratando de armar la demostración... Pero por ahí me veo envuelto en algunas cuestiones que no se cómo explicarlas como demostración... Hay una cuestión por la que no puede darse un número perfecto impar, lo expuse en mis otros hilos... Pero viene de toda la mezcla de conceptos que metí y por ello no se entendió lo que quise decir...

Sin embargo, yo sostengo mi teoría de que, si hay un número perfecto impar, es el 1 jajaja...

Si descomponés cualquier número primo p en sus factores:

$$p=p^0\cdot{p^1}$$

Es decir, el 1 no es factor per se, sino que lo es por el hecho de que todo número elevado a la 0 tiene ese resultado.

$$2=2^0\cdot{2^1}$$
$$7=7^0\cdot{7^1}$$

Entonces, para mí, el 1 debería seguir ese mismo criterio, siendo:

$$1=1^0\cdot{1^1}$$

Y, en definitiva, esto no afecta a ninguna productoria entre funciones sigmas y en ningún otro aspecto.

Es discutible? Para mi lo es. Si vos haces una división de la misma manera que lo haces para otros números:

$$1/1=1$$

Todo lindo pero todos los $$p$$ son primos, luego tienes que decir que 1 es primo cosa que no puedes porque puede ser obtenido de mas de dos formas $$1\cdot 1=1\cdot 1\cdot 1=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1$$ y segundo que en todos los demás casos  cada divisor o cada primo divisor cumple $$p<N$$, es decir  te pasas por allí, estas dos condiciones, ya explicadas en más de un hilo, solo para que te calce decir que 1 es perfecto, cuando todo el mundo afirma lo contrario y concluye que no lo es.

En cuanto a lo demás, el producto entre factores primos, da un resultado igual al del valor de la función sigma del número compuesto, por lo que no importa como factorices, nunca llegarás a un valor que sea igual a $$2n$$.

Demuestralo!!!

Si, yo también lo hago por entretenimiento.

Como el script que busca números perfectos. En 42 segundos me revisa hasta $$2^{5000}$$

Lo bueno sería que postees el script entre tags [ code ]codigo aqui[ /code ], no el resultado 


Saludos