Por otra parte, como \( p+qi=(u+vi)^2 \) \( \Rightarrow \) \( qi=(u+vi)^2-p \) -y- \( 2q_1^2i=(u+vi)^2-p_1^2 \) . Y en \( \mathbb{Z}(i) \) : \( 2=i(1-i)^2 \) ; entonces: \( i^2(1-i)^2q_1^2=(u+vi)^2-p_1^2 \) \( \Rightarrow \) \( i^2(1-i)^2q_1^2=(u+vi+p_1)(u+vi-p_1) \) . De la suma de estos dos factores: \( u+vi+p_1+u+vi-p_1=2(u+vi) \) -y- su diferencia: \( u+vi+p_1-u-vi+p_1=2p_1 \) , se deduce que son coprimos y por tanto cuadrados salvo por \( 2 \) . Luego tendremos en \( \mathbb{Z}(i) \) que \( u+vi+p_1=2(s+ti)^2 \) , para unos \( s,t \) enteros, coprimos y uno de ellos par. De esta manera: \( u+vi+p_1=2s^2-2t^2+4sti \) -y- : \( u+p_1=2(s^2-t^2) \) ; \( v=4st \) .
No acaba de convencerme esa parte. El único divisor común de esos dos factores es \( 2 \). Pero \( 2=i(1-i)^2 \) no es primo en \( \Bbb Z[i] \), entonces no tengo claro que tenga que repartirse en cada factor, es decir, que tales factores sean el doble de un cuadrado.
Por ejemplo si tomas \( z=3^2\cdot i(1-i) \) y \( w=5^2\cdot (1-i) \), son coprimos salvo divisores de dos y su producto es \( 2\cdot 15^2 \).
AÑADIDO: Es peor aún la situación. No veo claro que \( p_1 \) y \( u+vi \) sean coprimos en \( \Bbb Z[i] \). Por ejemplo 5,2,1 son coprimos pero \( 5=(2+i)(2-i) \) por tanto \( 5 \) no es coprimo con \( 2+1\cdot i \) en \( \Bbb Z[i] \)
Saludos.
P.D. En general todo lo que haces antes en \( \Bbb Z[i] \) puede hacer con poco más esfuerzo, sin recurrir a los complejos. En esa parte si intento reproducir algún argumento sin complejos, la cosa no va. Me chirría...
Hola Luis. Sí veo lo que dices, no puedo asegurar que \( 2 \) como tal se reparta exactamente al 50 por ciento entre los dos factores. Lo que no me queda claro todavía es si eso representa un fallo troncal o es susceptible de algún arreglo. De lo que pones en el AÑADIDO sí discrepo. Tenemos en \( \mathbb{Z}(i) \) que \( p+qi=(u+vi)^2 \) -y- ningún factor de \( p \) divide á \( u+vi \) . Sacado de este contexto, en general, sí es cierto lo que dices. Tampoco veo lo que expresas en el PD.; en el sentido que estratégicamente sí era crítico en esta demostración utilizar el anillo \( \mathbb{Z}(i) \) , al menos esa era la idea de partida; no puede ser igual sin esto.
Te voy a poner un ejemplo de demostración similar donde sí queda patente como de crítico puede ser, en una propuesta como ésta, \( \mathbb{Z}(i) \) -y- donde en vez de \( 2 \) como divisor clave voy a utilizar al primo \( 1-i \) . A ver qué te parece y si salva los dos escollos de este primer intento.
Como sabemos, para demostrar este caso del UTF4 basta con demostrar la imposibilidad de que se dé al mismo tiempo lo siguiente:
\( a^2=p^2+q^2 \)
\( b^2=p^2-q^2 \)
, para \( a,b,p,q \) enteros y coprimos entre sí -y- \( p\not\equiv{q} \) mod \( 2 \) .
Supongamos que es posible. Tenemos que \( a^2=p^2+q^2=(p+qi)(p-qi) \) -y- \( b^2=(p+q)(p-q) \) . Luego \( p+q \) -y- \( p+qi \) serán cuadrados.
En consecuencia \( p+q=t^2 \) , para un \( t \) entero -y- en \( \mathbb{Z}(i)=\mathbb{Z}(\zeta_4) \) : \( p+qi=(u+vi)^2=u^2-v^2+2uvi \) , para unos \( u,v \) enteros, uno de ellos par, pongamos que \( v \) . Luego: \( p=u^2-v^2 \) -y- \( q=2uv \) .
De esta manera: \( (p+q)+q(i-1)=p+qi \) -y- \( (p+qi)-(p+q)=q(i-1) \) \( \Rightarrow \) \( (u+vi)^2-t^2=q(i-1) \) -y- \( (u+t+vi)(u-t+vi)=q(i-1) \) .
Si \( v \) es par de magnitud \( 2^1 \) , \( q \) es par de \( 4 \) . Luego \( 4 \) divide á \( (u+t+vi)(u-t+vi) \) ; \( 2 \) á \( u+t+vi \) -y- \( 2 \) á \( u-t+vi \) . ¿Pero qué ocurre con \( i-1 \) del lado derecho de la ecuación? \( i-1 \) es el asociado del primo \( 1-i \) que divide á \( 2=(1+i)(1-i) \) en \( \mathbb{Z}(\zeta_4) \) -y- como tal divide á \( \dfrac{u+t+vi}{2} \) ó á \( \dfrac{u-t+vi}{2} \) . Pongamos que divide al primero de estos factores. En principio podría dividir á \( \dfrac{u+t}{2} \) , pues representa una suma de dos impares, pero no á \( \dfrac{vi}{2} \) ; dado que partimos que \( v \) es par de magnitud \( 2 \) . Luego es que debe de ser \( v \) de magnitud \( 4 \) -y- en consecuencia \( q \) par de magnitud \( 8 \) . De esta forma \( 8 \) debe dividir á \( (u+t+vi)(u-t+vi) \) ; \( 4 \) , por ejemplo, puede dividir á \( u+t+vi \) -y- \( 2 \) á \( u-t+vi \) . Esto es así porque conocemos que respecto de la suma y la diferencia de dos impares, si una de las parejas (suma o diferencia) es congruente con \( 0 \) módulo \( 4 \) , la otra debe ser por fuerza congruente con \( 2 \) módulo \( 4 \) . Pongamos pues que \( u+t\equiv{0} \) mod \( 4 \) , entonces: \( u-t\equiv{2} \) mod \( 4 \) . ¿Pero de nuevo, qué ocurre con \( i-1 \) ? ¿A quién divide? Podría ser también á \( \dfrac{u+t}{4} \) , porque fuera \( u+t \) congruente con \( 0 \) módulo \( 8 \) , además de múltiplo de \( 4 \) , pero no puede dividir entonces á \( \dfrac{v}{4} \) de \( \dfrac{u+t+vi}{4} \) ; pues hemos quedado que \( v \) es par de magnitud \( 4 \) . Y respecto del otro factor, pues aunque \( i-1 \) puede dividir á \( \dfrac{v}{2} \) de \( \dfrac{u-t+vi}{2} \) ; no puede dividir a su vez á \( \dfrac{u-t}{2} \) , pues hemos quedado que \( u-t \) es congruente con \( 2 \) módulo \( 4 \) . Y estamos en las mismas si ahora establecemos que \( v \) debe ser par de magnitud \( 8 \) -y- en consecuencia \( q \) par de magnitud \( 16 \) . En definitiva: Esta ecuación: \( (u+t+vi)(u-t+vi)=q(i-1) \) , no es posible si \( t,u,v \) son enteros.
La generalización de esta estrategia es aplicable también al caso del UTF3:
Supongamos que \( a^3+b^3+c^3=0 \) , para \( a,b,c \) enteros -y- coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( abc \) ; puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Luego \( 3 \) debe dividir á \( abc \) . Y no perdemos generalidad si suponemos que \( 3 \) divide á \( b \) .
De esta forma, en \( \mathbb{Z}(\zeta_3)=\mathbb{Z}(\omega) \) : \( -c^3=a^3+b^3=(a+b)(a+b\omega)(a+b\omega^2) \) , para \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) . Y : \( a+b \) -y- \( a+b\omega \) serán terceras potencias.
En consecuencia \( a+b=t^3 \) , para un \( t \) entero -y- \( a+b\omega=(u+v\omega)^3 \) , para unos \( u,v \) enteros, uno de ellos par. Luego \( a+b\omega=u^3+v^3-3uv^2+(3u^2v-3uv^2)\omega \) -y- : \( a= u^3+v^3-3uv^2 \) ; \( b=3uv(u-v) \) . Pero no sólo \( 3 \) , como vemos, divide á \( b \) , ya que ó bien \( u \) , ó bien \( v \) ó \( u-v \) son múltiplos de \( 3 \) ; debido a que \( u+v \) no puede serlo porque entonces \( u+v\omega\equiv{(1-\omega\,,\,-1+\omega)} \) mod \( 3 \) -y- \( \omega-1 \) es factor de \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ; por lo que éste dividiría á \( (u+v\omega)^3 \) -y- á \( a+b\omega \) , lo que no es. Por tanto, \( 9 \) , como mínimo, divide á \( b \) .
De esta manera: \( (a+b)+b(\omega-1)=a+b\omega \) -y- \( a+b\omega-(a+b)=b(\omega-1) \) \( \Rightarrow \)
\( (u+v\omega)^3-t^3=b(\omega-1) \) -y- \( (u+v\omega-t)((u+v\omega-t)^2+3(u+v\omega)t)=b(\omega-1) \) .
Como \( 9 \) divide á \( b \) , entonces dividirá á \( (u+v\omega-t)((u+v\omega-t)^2+3(u+v\omega)t) \) ; \( 3 \) dividirá á \( u+v\omega-t \) -y- \( 3 \) á \( (u+v\omega-t)^2+3(u+v\omega)t \) . Pero tenemos también en el lado derecho de la ecuación á \( \omega-1 \) . Como no puede dividir á \( \dfrac{(u+v\omega-t)^2}{3}+(u+v\omega)t \) , ya que divide á \( \dfrac{(u+v\omega-t)^2}{3} \) -y- no á \( (u+v\omega)t \) ; entonces por fuerza debe dividir á \( \dfrac{u+v\omega-t}{3} \) -y- en realidad será \( 9 \) el que debe dividir á \( u+v\omega-t \) , que es un entero. Luego \( 27 \) divide á \( (u+v\omega-t)((u+v\omega-t)^2+3(u+v\omega)t) \) -y- por tanto \( 27 \) divide á \( b \) en el lado derecho de la ecuación, que es el entero. Y volvemos a tener \( \omega-1 \) pendiente, entrando en bucle de nuevo. En conclusión, esta ecuación: \( (u+v\omega-t)((u+v\omega-t)^2+3(u+v\omega)t)=b(\omega-1) \) , no es posible para \( t,u,v \) enteros. Y no es difícil, sólo un poco más complejo, la aplicación de esta idea al caso del UTF5.
De tal forma que podríamos atrevernos incluso a proponer este
Lema:
Dados unos \( a,b \) enteros, coprimos y tal que \( a\not\equiv{b} \) mod \( 2 \) . Si \( a+b \) es una potencia entera, entonces: \( a+b\zeta_p^1 \) ; perteneciente a \( \mathbb{Z}(\zeta_p) \) -para \( p \) un primo regular donde incluimos también al \( 4 \)- que es el anillo ciclotómico entero del orden de ese primo; no puede ser otra potencia entera igual.
Un saludo,
Editado 17 de mayo. Un error tonto que no afecta al fondo del asunto: El error era que \( a+b\omega-(a+b)=b(\omega-1) \) \( \Rightarrow \)
\( t^3-(u+v\omega)^3=b(\omega-1) \) . Debe ser: \( (u+v\omega)^3-t^3=b(\omega-1) \) . Y esto arrastraba lo demás. Disculpas
