[claudem]

Hola! Me podrían ayudar con este problema? No se me ocurre nada 


a) Sea \( (X,M,m) \) un espacio de medida y sea \( E\in{M} \) tal que \( 0<m(E)<+\infty \). Pruébese que para todo par \( A,B\in{M} \) tales que \( A,B\subseteq{E} \) si verifica además que \( m(A)*m(B)=m(E)^2 \) entonces \( A\cap{B}\neq\emptyset \).

b) Sea \( (O_n)_{n\in{\mathbb{N}}} \) una sucesión de abiertos acotados de \( \mathbb{R^n} \) tales que para todo \( n\in{\mathbb{N}} \) se tiene \( O_{n+1}\subseteq{O_n} \) y \( m(O_{n+1})=m(O_n) \). Pruébese que para todo \( n\in{N} \) se tiene que \( \cap_{k=1}^{\infty}{O_k} \) es denso en \( O_n \). ¿Es cierto el resultado anterior cambiando los abiertos acotados \( O_n \) por conjuntos cerrados acotados \( F_n \) y de interior no vacío?

c) Demuéstrese que todo conjunto de \( \mathbb{R^n} \) cuyo complementario sea de de medida de Lebesgue nula, es denso en \( \mathbb{R^n} \).

[Masacroso]

Hola! Me podrían ayudar con este problema? No se me ocurre nada 


a) Sea \( (X,M,m) \) un espacio de medida y sea \( E\in{M} \) tal que \( 0<m(E)<+\infty \). Pruébese que para todo par \( A,B\in{M} \) tales que \( A,B\subseteq{E} \) si verifica además que \( m(A)*m(B)=m(E)^2 \) entonces \( A\cap{B}\neq\emptyset \).

b) Sea \( (O_n)_{n\in{\mathbb{N}}} \) una sucesión de abiertos acotados de \( \mathbb{R^n} \) tales que para todo \( n\in{\mathbb{N}} \) se tiene \( O_{n+1}\subseteq{O_n} \) y \( m(O_{n+1})=m(O_n) \). Pruébese que para todo \( n\in{N} \) se tiene que \( \cap_{k=1}^{\infty}{O_k} \) es denso en \( O_n \). ¿Es cierto el resultado anterior cambiando los abiertos acotados \( O_n \) por conjuntos cerrados acotados \( F_n \) y de interior no vacío?

Para el a) observa que si \( A\cap B=\emptyset  \) entonces \( \mu(A)+\mu(B)=\mu(A\cup B)\leqslant \mu(E) \).

[geómetracat]

Para el b), imagino que \[ m \] es la medida de Lebesgue en \[ \Bbb R^n \]. Usando la continuidad desde arriba de la medida de Lebesgue, y que los conjuntos son descendentes y acotados (luego \[ O_1 \] tiene medida finita), tienes que \( m(\bigcap_{k=1}^\infty O_k)=\lim_k m(O_k)=m(O_1) \) . Si la intersección no fuera densa en \[ O_1 \] tendrías que existe un abierto no vacío \[ U \subseteq O_1 \setminus \bigcap_{k=1}^\infty O_k \]. Como un abierto no vacío tiene medida de Lebesgue positiva, llegas a una contradicción con el hecho de que  \( m(\bigcap_{k=1}^\infty O_k)=m(O_1) \).

[claudem]

Gracias!! Su orientación me ha sido de gran ayuda