Hola,
Supongamos que \( \pmb{a^p+b^p+c^p=0} \) , para \( a,b,c \) enteros, coprimos entre sí -y- \( p \) un primo de Sophie Germain congruente con \( 1 \) módulo \( 4 \) (primos no lucasianos)
(A103579 - OEIS).
Caso 1: \( p=5 \) -y- \( a^5+b^5+c^5=0 \) .
Como \( 5 \) es un primo de Sophie Germain, sabemos que \( 5 \) divide á \( abc \) . No perdemos generalidad entonces si suponemos que \( 5 \) divide á \( c \) .
Lema I: Si \( p \) es un primo de Sophie Germain -y- \( A \) un entero al que no divide el primo seguro
(Wikipedia) de éste: \( 2p+1 \) ; \( A^p \) será siempre congruente con \( \pm 1 \) módulo \( 2p+1 \) .
Por el pequeño teorema de Fermat: \( A^{2p}\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) . Luego: \( A^p\cdot A^p=(A^p)^2\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) . Y por tanto \( A^p \) sólo puede ser congruente con \( 1 \) ó con \( -1 \) módulo \( 2p+1 \) .
Además, sabemos
(Wikipedia) que todo primo seguro es congruente con \( 3 \) módulo \( 4 \) .
Lema II: Dado un primo \( p\equiv{3} \) mod \( 4 \) -y- un \( A \) entero; si \( A^{2n-1}\equiv{1} \) mod \( p \) , \( A \) es congruente siempre con un residuo (cuadrático) módulo \( p \) . Y si \( A^{2n-1}\equiv{-1} \) mod \( p \) , \( A \) será congruente siempre con un no-residuo módulo \( p \) .
Supongamos en el primer caso que \( A \) sea congruente con un no-residuo (\( NR \)) módulo \( p \) . Entonces \( (NR)^{2n-1}=NR\neq 1 \) ; puesto que \( NR\cdot NR=R \) -y- \( NR\cdot R=NR \)
(Wikipedia). De la misma forma, supongamos en el segundo caso que \( A \) sea congruente con un residuo (\( R \)) módulo \( p \) . Entonces \( (R)^{2n-1}=R\neq -1 \) . Ya que \( R\cdot R=R \) -y- \( -1 \) no es nunca residuo de un primo congruente con \( 3 \) módulo \( 4 \) .
Lema III: Dado un primo \( p\equiv{3} \) mod \( 4 \) , la suma de dos de sus residuos nunca es igual á \( 0 \) .
Dado un resto (\( r \)) de \( p \) , sólo la suma con su complementario (\( -r \)) es igual á \( p \) . Pero como \( p \) es congruente con \( 3 \) módulo \( 4 \) , conocemos
(Wikipedia) que la negación de un residuo es siempre un no-residuo. Luego no puede darse nunca que la suma de dos de sus residuos sea igual á \( p \) ó á un múltiplo de \( p \) .
Caso 1.1: \( 11 \) divide a un cubo distinto al que divide \( 5 \) .
El primo seguro de \( 5 \) es \( 11 \) . Supongamos sin perder generalidad que \( 11 \) divide á \( a \) . De esta forma, por ejemplo: \( (a^5\equiv{0})+(b^5\equiv{1})+(c^5\equiv{-1})=0 \) mod \( 11 \) .
Caso 1.1.1: \( 11 \) divide á \( (b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc) \) .
Como tenemos que \( -a^5=b^5+c^5=(b+c)((b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc)) \) -y- ambos factores son coprimos, ya que \( 5 \) divide á \( c \) ; \( 11 \) puede dividir á \( b+c \) ó á \( (b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc) \) .
Conocemos por una parte que \( -b^5=a^5+c^5=(a+c)((a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac)) \) . Donde \( a+c \) -y- \( (a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac) \) son coprimos y quintas potencias. Luego \( a+c\equiv{c}\equiv{-1} \) mod \( 11 \) ; ya que hemos quedado en que \( a+c \) es congruente con \( \pm 1 \) por ser una quinta potencia (Lema I) -y- que \( c^5\equiv{-1} \) mod \( 11 \) . Por otra parte, como \( -a^5=b^5+c^5=(b+c)((b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc)) \) . Donde a su vez \( b+c \) -y- \( (b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc) \) son coprimos y quintas potencias. Entonces: \( b+c\equiv{b-1}\equiv{\pm 1} \) (Lema I). De esta forma, ó \( b\equiv{2} \) -y- \( 2-1=1 \) , ó \( b\equiv{11} \) -y- \( 0-1=-1 \) . Pero ninguno de los 2 casos puede darse, porque por un lado \( 2 \) , que no es residuo módulo \( 11 \) , significa que \( b^5=2^5\not\equiv{1} \) (Lema II) -y- por el otro lado, \( 11 \) no puede dividir á \( b \) cuando hemos quedado que divide á \( a \) .
Caso 1.1.2: Concluimos por tanto que \( 11 \) debe dividir á \( b+c \) .
Y entonces:
\( -c^5=a^5+b^5=(a+b)((a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab)) \) . Donde \( a+b \) -y- \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab) \) serán coprimos y quintas potencias salvo por \( 5 \) ; ya que \( 5 \) , que divide á \( c \) , debe dividir á \( a+b \) . Así: \( a+b=5^{5k-1}c_1^5\equiv{b}\equiv{\pm 5^{5k-1}} \) mod \( 11 \) (Lema I) -y- \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab)=5c_2^5\equiv{b^4}\equiv{\pm 5} \) mod \( 11 \) (Lema I), para \( c_1,c_2 \) factores coprimos de \( c \) -y- \( k\in{\mathbb{N}} \) . Pero como \( b^4 \) sólo puede ser equivalente con \( 5 \) módulo \( 11 \) , ya que \( 6 \) no es residuo; entonces: \( b\equiv{2} \) ó \( b\equiv{9} \) módulo \( 11 \) ; no hay otra. Ahora bien, teníamos (Caso 1.1.1) que \( -b^5=a^5+c^5=(a+c)((a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac)) \) . Donde como \( a+c \) -y- \( ((a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac)) \) son coprimos y quintas potencias, entonces era que: \( a+c\equiv{c}\equiv{-1} \) mod \( 11 \) . Luego si \( 11\mid b+c \) -y- \( c\equiv{-1} \) , será que \( b\equiv{1} \) mod \( 11 \) . Pero antes dijimos que sólo podía ser congruente con \( 2 \) ó \( 9 \) .
Caso 1.2: \( 11 \) divide al mismo cubo que divide \( 5 \) .
De esta manera, sin perder generalidad, supondremos que \( 5 \) -y- \( 11 \) dividen á \( c \) . Donde, por ejemplo: \( (a^5\equiv{1})+(b^5\equiv{-1})+(c^5\equiv{0})=0 \) mod \( 11 \) .
Caso 1.2.1: \( 11 \) divide á \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab) \) .
Como tenemos que \( -c^5=a^5+b^5=(a+b)((a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab)) \) -y- ambos factores son coprimos salvo por \( 5 \) , \( 11 \) puede dividir á \( a+b \) ó á \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab) \) .
Al igual que antes, sabemos que \( -b^5=a^5+c^5=(a+c)((a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac)) \) . Donde \( a+c \) -y- \( (a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac) \) son coprimos y quintas potencias. Luego \( a+c\equiv{a}\equiv{1} \) mod \( 11 \) (Lema I); ya que hemos quedado en que \( a^5\equiv{1} \) mod \( 11 \) . Por otra parte, como \( -a^5=b^5+c^5=(b+c)((b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc)) \) . Donde a su vez \( b+c \) -y- \( (b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc) \) son coprimos y quintas potencias. Entonces: \( b+c\equiv{b}\equiv{-1} \) (Lema I); ya que hemos quedado en que \( b^5\equiv{-1} \) mod \( 11 \) . De esta forma: \( a+b\equiv{0} \) mod \( 11 \) -y- llegamos a una contradicción, porque partimos de que \( 11 \) dividía á \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab) \) .
Caso 1.2.2: Concluimos que \( 11 \) , lo mismo que \( 5 \) , debe dividir á \( a+b \) .
Y entonces:
\( -a^5=b^5+c^5=(b+c)((b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc)) \) . Donde \( b+c \) -y- \( (b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc) \) serán coprimos y quintas potencias. Así: \( b+c=a_1^5\equiv{b}\equiv{-1} \) mod \( 11 \) -y- \( (b+c)^4-5bc((b+c)^2-bc)=a_2^5\equiv{b^4}\equiv{1} \) mod \( 11 \) , para \( a_1,a_2 \) factores coprimos de \( a \) . Puesto que: \( b+c \) , por ser una quinta potencia (Lema I), es congruente con \( \pm 1 \) módulo \( 11 \) ; \( b^5 \) es congruente con \( -1 \) módulo \( 11 \) -y- \( c \) es congruente con \( 0 \) .
\( -b^5=(a+c)((a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac)) \) . De donde \( a+c \) -y- \( (a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac) \) serán coprimos y quintas potencias. Así: \( a+c=b_1^5\equiv{a}\equiv{1} \) mod \( 11 \) -y- \( (a+c)^4-5ac((a+c)^2-ac)=b_2^5\equiv{a^4}\equiv{1} \) mod \( 11 \) , para \( b_1,b_2 \) factores coprimos de \( b \) . Puesto que: \( a+c \) , por ser una quinta potencia (Lema I), es congruente con \( \pm 1 \) módulo \( 11 \) ; \( a^5 \) es congruente con \( 1 \) módulo \( 11 \) -y- \( c \) es congruente con \( 0 \) .
\( -c^5=(a+b)((a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab)) \) . De donde \( a+b \) -y- \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab) \) serán coprimos y quintas potencias salvo por \( 5 \) . Así: \( a+b=5^{5k-1}c_1^5=5^{5k-1}11^{5s}c_1'\,^5\equiv{0} \) mod \( 11 \) -y- \( (a+b)^4-5ab((a+b)^2-ab)=5c_2^5\equiv{\pm 5} \) mod \( 11 \) (Lema I), para \( c_1,c_2 \) factores coprimos de \( c \) -y- \( c_1=11^{s}\cdot c_1' \) , para un \( s\in{\mathbb{N}} \) .
Por otra parte, como ocurre que si \( a^5+b^5+c^5=0 \) , existirá un \( a+b+c+d=0 \) , para un determinado \( d \) entero -y- por tanto: \( -d=a+b+c \) .
Entonces:
\( -d=(a)+(b+c)=a_1a_2+a_1^5=a_1(a_2+a_1^4) \)
\( -d=(b)+(a+c)=b_1b_2+b_1^5=b_1(b_2+b_1^4) \)
\( -d=(c)+(a+b)=5^k11^sc_1'c_2+5^{5k-1}11^{5s}c_1'\,^5=5^k11^sc_1(c_2+5^{4k-1}11^{4s}c_1'\,^4) \)
Así: \( -d=5^k11^sa_1b_1c_1't \) , para un \( t \) entero, probablemente igual á \( 1 \) .
Pero como: \( -d=a_1(a_2+a_1^4) \) -y- \( -d=b_1(b_2+b_1^4) \) ; \( 11^s \) debe dividir á \( a_2+a_1^4 \) -y- á \( b_2+b_1^4 \) . Lo que no es posible, ya que al ser \( a_2^5 \) -y- \( b_2^5 \) congruentes con \( 1 \) módulo \( 11 \) , por el Lema II, \( a_2 \) -y- \( b_2 \) serán congruentes con un residuo de \( 11 \) -y- por el Lema III, residuo más residuo (\( a_1^4,b_1^4 \)) no puede ser igual á cero módulo \( 11 \) .
Caso 2: \( p=p \) -y- \( a^p+b^p+c^p=0 \) .
Como \( p \) es un primo de Sophie Germain, sabemos que \( p \) divide á \( abc \) . Y no perdemos generalidad entonces si suponemos que \( p \) divide á \( c \) .
Caso 2.1: \( 2p+1 \) divide a un cubo distinto al que divide \( p \) .
El primo seguro de \( p \) es \( 2p+1 \) . Supongamos sin perder generalidad que \( 2p+1 \) divide á \( a \) . De esta forma, por ejemplo: \( (a^p\equiv{0})+(b^p\equiv{1})+(c^p\equiv{-1})=0 \) mod \( 2p+1 \) .
Lema IV: Se puede comprobar que: \( a^p+b^p=(a+b)((a+b)^{p-1}-pabQ) \) , para un \( Q \) entero. Donde:
\( Q=(a+b)^{p-3}-ab\left[{m_1(a+b)^{p-5}-ab\left[{m_2(a+b)^{p-7}-\,.\,.\,-ab\left[{m_n(a+b)^2-ab}\right]\,.\,.\, }\right] }\right] \)
, para \( m_n \) enteros.
Además: Se puede demostrar que si \( p \) divide á \( a^p+b^p \) , entonces \( p \) divide á \( a+b \) , no divide á \( Q \) -y- por lo tanto: \( p^{pk-1} \) divide á \( a+b \) -y- sólo \( p \) divide á \( (a+b)^{p-1}-pabQ \) .
Caso 2.1.1: \( 2p+1 \) divide á \( (b+c)^{p-1}-pbcQ_1 \) .
Como tenemos que \( -a^p=b^p+c^p=(b+c)((b+c)^{p-1}-pbcQ_1) \) (Lema IV) -y- ambos factores son coprimos, ya que \( p \) divide á \( c \) ; \( 2p+1 \) puede dividir á \( b+c \) ó á \( (a+b)^{p-1}-pabQ_1 \) .
Tenemos por una parte que \( -b^p=a^p+c^p=(a+c)((a+c)^{p-1}-pacQ_2) \) . Donde como \( a+c \) -y- \( (a+c)^{p-1}-pacQ_2 \) son coprimos y p-ésimas potencias; entonces, por el Lema I, \( a+c\equiv{c}\equiv{\pm 1} \) mod \( 2p+1 \) . De esta manera: \( a+c \) -y- \( c \) deben ser congruentes con \( -1 \) -y- no con \( 1 \) , porque \( c^p\equiv{-1} \) . Por otra parte tenemos que para \( -a^p \) : \( b+c \) -y- \( (b+c)^{p-1}-pbcQ_1 \) son coprimos y p-ésimas pontencias. Luego por el Lema I: \( b+c\equiv{\pm 1} \) mod \( 2p+1 \) -y- por lo de arriba: \( b-1\equiv{\pm 1} \) . Y como \( b \) no puede ser múltiplo de \( 2p+1 \) , sólo puede ser \( 2 \) -y- : \( b+c\equiv{1} \) . Pero como partimos de un primo de Sophie Germain con la condición restrictiva de ser congruente con \( 1 \) módulo \( 4 \) ; entonces será congruente con \( 1,5 \) módulo \( 8 \) , por lo que \( 2p+1 \) resultará siempre congruente con \( 3 \) módulo \( 8 \) . De esta forma \( 2 \)
(Wikipedia) no será nunca residuo de este primo seguro. De ahí que si \( b \) es congruente con \( 2 \) módulo \( 2p+1 \) ; por el Lema II, \( b^p \) nunca podrá ser congruente con \( 1 \) módulo \( 2p+1 \) , como habíamos quedado. Lo que es una contradicción.
Caso 2.1.2: Por tanto: \( 2p+1 \) divide á \( b+c \) .
Y entonces:
\( -c^p=a^p+b^p=(a+b)((a+b)^{p-1}-pabQ_3) \) . De donde \( a+b \) -y- \( (a+b)^{p-1}-pabQ_3 \) serán coprimos y p-ésimas potencias salvo por \( p \) , ya que \( p \) , que divide á \( c \) , debe dividir á \( a+b \) (Lema IV). Así: \( a+b=p^{pk-1}c_1^p\equiv{b}\equiv{\pm p^{pk-1}} \) mod \( 2p+1 \) (Lema I) -y- \( (a+b)^{p-1}-pabQ_3=pc_2^p\equiv{b^{p-1}}\equiv{\pm p} \) mod \( 2p+1 \) (Lema I); para \( c_1,c_2 \) factores coprimos de \( c \) -y- \( k\in{\mathbb{N}} \) . Pero tenemos como en el Caso 2.1.1 que \( -b^p=a^p+c^p=(a+c)((a+c)^{p-1}-pacQ_2) \) . Donde como \( a+c \) -y- \( (a+c)^{p-1}-pacQ_2 \) son coprimos y p-ésimas potencias, entonces era que: \( a+c\equiv{c}\equiv{-1} \) mod \( 2p+1 \) . Luego si \( 2p+1\mid b+c \) -y- \( c\equiv{-1} \) , será que \( b\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) . Pero antes dijimos que \( b^{p-1}\equiv{\pm p} \) mod \( 2p+1 \) -y- es claro que \( 1\not\equiv \) \( +p \) ó \( 1\not\equiv \) \( -p \) módulo \( 2p+1 \) ; ya que: \( 2p+1\equiv{0} \) mod \( 2p+1 \) \( \Rightarrow \) \( 2p\equiv{-1} \) , que sería válido para \( p\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) -y- \( 2p+1=3 \) , pero esta última ecuación no es posible, y por otro lado nunca \( -2\not\equiv -1 \) . Por tanto, concluimos que \( 2p+1 \) no puede dividir á una p-ésima potencia diferente de la que es múltiplo de \( p \) .
Caso 2.2: \( 2p+1 \) divide al mismo cubo que divide \( p \) .
De esta manera, sin perder generalidad, supondremos que \( p \) -y- \( 2p+1 \) dividen á \( c \) . Donde, por ejemplo: \( (a^p\equiv{1})+(b^p\equiv{-1})+(c^p\equiv{0})=0 \) mod \( 2p+1 \) .
Caso 2.2.1: \( 2p+1 \) divide á \( (a+b)^{p-1}-pabQ_3 \) .
Como tenemos que \( -c^p=a^p+b^p=(a+b)((a+b)^{p-1}-pabQ_3) \) -y- ambos factores son coprimos salvo por \( p \) ; \( 2p+1 \) puede dividir á \( a+b \) ó á \( (a+b)^{p-1}-pabQ_3 \) .
Pero sabemos por una parte que \( -b^p=a^p+c^p=(a+c)((a+c)^{p-1}-pacQ_2) \) . Donde \( a+c \) -y- \( (a+c)^{p-1}-pacQ_2 \) son coprimos y p-ésimas potencias. Luego \( a+c\equiv{a}\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) ; por el Lema I y porque hemos quedado que \( a^p\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) . Por otra parte, como \( -a^p=b^p+c^p=(b+c)((b+c)^{p-1}-pbcQ_1) \) . Donde a su vez \( b+c \) -y- \( (b+c)^{p-1}-pbcQ_1) \) son coprimos y p-ésimas potencias. Entonces: \( b+c\equiv{b}\equiv{-1} \) ; ya que hemos quedado (Lema I) que \( b^p\equiv{-1} \) mod \( 2p+1 \) . De esta forma: \( a+b\equiv{0} \) mod \( 2p+1 \) -y- llegamos a una contradicción; porque partimos de que \( p \) dividía á \( (a+b)^{p-1}-5abQ \) .
Caso 2.2.2: Concluimos que \( 2p+1 \) , al igual que \( p \) , debe dividir á \( a+b \) .
Y entonces:
\( -a^p=b^p+c^p=(b+c)((b+c)^{p-1}-pbcQ_1) \) . Donde \( b+c \) -y- \( (b+c)^{p-1}-pbcQ_1 \) serán coprimos y p-ésimas potencias. Así: \( b+c=a_1^p\equiv{b}\equiv{-1} \) mod \( 2p+1 \) -y- \( (b+c)^{p-1}-pbcQ_1=a_2^p\equiv{b^{p-1}}\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) , para \( a_1,a_2 \) factores coprimos de \( a \) . Puesto que: \( b+c \) es una p-ésima potencia (Lema I); \( b^p\equiv{-1} \) mod \( 2p+1 \) ; \( c \) es congruente con \( 0 \) -y- \( p-1 \) es par.
\( -b^p=(a+c)((a+c)^{p-1}-pacQ_2) \) . Donde \( a+c \) -y- \( (a+c)^{p-1}-pacQ_2 \) serán coprimos y p-ésimas potencias. Así: \( a+c=b_1^p\equiv{a}\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) -y- \( (a+c)^{p-1}-pacQ_2=b_2^p\equiv{a^{p-1}}\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) , para \( b_1,b_2 \) factores coprimos de \( b \) . Puesto que: \( a+c \) es una p-ésima potencia (Lema I); \( a^p\equiv{1} \) mod \( 2p+1 \) ; \( c \) es congruente con \( 0 \) -y- \( p-1 \) es par.
\( -c^p=(a+b)((a+b)^{p-1}-pabQ_3) \) . De donde \( a+b \) -y- \( (a+b)^{p-1}-pabQ_3 \) serán coprimos y p-ésimas potencias salvo por \( p \) . Así: \( a+b=p^{pk-1}c_1^p=p^{pk-1}(2p+1)^{ps}c_1'\,^p\equiv{0} \) mod \( 2p+1 \) -y- \( (a+b)^{p-1}-pabQ_3=pc_2^p\equiv{\pm p} \) mod \( 2p+1 \) (Lemas I y IV) , para \( c_1,c_2 \) factores coprimos de \( c \) -y- \( c_1=(2p+1)^{s}\cdot c_1' \) , para un \( s\in{\mathbb{N}} \) .
Por otra parte, como ocurre que si \( a^p+b^p+c^p=0 \) , existirá un \( a+b+c+d=0 \) , para un determinado \( d \) entero -y- por tanto: \( -d=a+b+c \) .
Entonces:
\( -d=(a)+(b+c)=a_1a_2+a_1^p=a_1(a_2+a_1^{p-1}) \)
\( -d=(b)+(a+c)=b_1b_2+b_1^p=b_1(b_2+b_1^{p-1}) \)
\( -d=(c)+(a+b)=p^k(2p+1)^sc_1'c_2+p^{pk-1}(2p+1)^{ps}c_1'\,^p=p^k(2p+1)^sc_1'(c_2+p^{(p-1)k-1}(2p+1)^{(p-1)s}c_1'\,^{p-1}) \)
Así: \( -d=p^k(2p+1)^sa_1b_1c_1't \) , para un \( t \) entero, probablemente igual á \( 1 \) .
Pero como: \( -d=a_1(a_2+a_1^{p-1}) \) -y- \( -d=b_1(b_2+b_1^{p-1}) \) ; \( (2p+1)^s \) debe dividir á \( a_2+a_1^{p-1} \) -y- á \( b_2+b_1^{p-1} \) . Lo que no es posible, ya que al ser \( a_2^p \) -y- \( b_2^p \) congruentes con \( 1 \) módulo \( 2p+1 \) ; por el Lema II, \( a_2 \) -y- \( b_2 \) serán congruentes con un residuo de \( 2p+1 \) -y- por el Lema III, residuo más residuo (\( a_1^{p-1},b_1^{p-1} \)) no puede ser igual á cero módulo \( 2p+1 \) .
Un saludo,
