Hola, para demostrar este caso del UTF basta con demostrar la imposibildad de que se dé al mismo tiempo lo siguiente:
\( a^2=p^2+q^2 \)
\( b^2=p^2-q^2 \)
, para \( a,b,p,q \) enteros y coprimos entre sí -y- \( p\not\equiv{q} \) mod \( 2 \) .
Supongamos que es posible. Tenemos que \( a^2=p^2+q^2=(p+qi)(p-qi) \) . Y si un primo \( p' \) divide á \( p-qi \) . Entonces \( p\equiv{qi} \) mod \( p' \) -y- \( p^2\equiv{-q^2} \) mod \( p' \) .
De esta última equivalencia deducimos
(Wikipedia) que \( p' \) es congruente con \( 1 \) módulo \( 4 \) , ya que \( -1 \) debe ser un residuo. De esta forma sabemos por el Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados que \( p' \) puede escribirse como \( c^2+d^2=(c+di)(c-di) \) , para \( c+di \) -y- \( c-di \) primos en \( \mathbb{Z}(i) \) .
Tenemos también que \( b^2\equiv{p^2-q^2} \) mod \( p' \) -y- \( b^2\equiv{-2q^2} \) mod \( p' \) . Luego \( -2 \) debe ser residuo también y conocemos
(Wikipedia) que eso sólo puede darse si \( p' \) es congruente con \( 1,3 \) mod \( 8 \) . Pero no puede ser congruente con \( 3 \) módulo \( 8 \) porque hemos establecido que es congruente con \( 1 \) módulo \( 4 \) . Luego sólo puede ser congruente con \( 1 \) módulo \( 8 \) .
Pero además como \( b^2+2q^2\equiv{0} \) mod \( p' \) -y- \( b^2+i(1-i)^2q^2\equiv{0} \) mod \( p' \) ; puesto que en \( \mathbb{Z}(i) \) : \( 2=i(1-i)^2 \) . Entonces \( p' \) dividirá á \( b+(1-i)qi\sqrt{i} \) ó á \( b-(1-i)qi\sqrt{i} \) -y- esto nos sitúa en \( \mathbb{Z}(\zeta_8)=\mathbb{Z}(i,\sqrt{2}) \)
(Field Theory) donde \( \sqrt[4]{-1}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pm\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \) . De esta manera, tendremos que: \( b+(1-i)qi\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pm\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right ) \) ó \( b-(1-i)qi\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pm\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right ) \) .
Al dividir \( p' \) en \( \mathbb{Z}(i,\sqrt{2}) \) -y- como sabemos que en primera instancia era de la forma \( p'=c^2+d^2 \) , resultará en definitiva que es: \( p'=c^4+d^4=(c^2+d^2i)(c^2-d^2i)=(c+di\sqrt{i})(c-di\sqrt{i})(c+d\sqrt{i})(c-d\sqrt{i}) \) , para unos \( c,d \) enteros, coprimos -y- pongamos que \( d \) par; donde \( c+di\sqrt{1}=c+di\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pm\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right ) \) es un primo de \( \mathbb{Z}(i,\sqrt{2}) \) .
Luego \( c+di\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pm\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right ) \) debe dividir, como hemos visto antes, ó á: \( b+(1-i)qi\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pm\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right ) \) ó á: \( b-(1-i)qi\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pm\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right ) \) . Supongamos, sin perder generalidad, que \( c+di\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right ) \) divide á \( b+(1-i)qi\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right ) \) . Entonces:
\( \dfrac{b+(1-i)qi\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right )}{c+di\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{-2}}{2} \right )}=\dfrac{b+(1-i)qi\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )}{c+di\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )}= \)
\( =\dfrac{\left (b+(1-i)qi\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )\right )\left(c-di\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )\right)}{\left (c+di\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )\right )\left(c-di\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )\right)}= \)
\( =\dfrac{bc-bdi\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )+(1-i)qi\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )c+(1-i)qd\left (\sqrt{2}+\sqrt{-2}\right )^2}{c^2+4d^2i}= \)
\( =\dfrac{bc-bd\left (\sqrt{-2}+\sqrt{2}\right )+cq(1-i)\left (\sqrt{-2}+\sqrt{2}\right )+4dqi(1-i)}{c^2+4d^2i}= \)
\( =\dfrac{bc+4dq}{c^2+4d^2i}+\dfrac{4dqi}{c^2+4d^2i}+\dfrac{(cq(1-i)-bd)\left (\sqrt{-2}+\sqrt{2}\right )}{c^2+4d^2i} \) .
Pero en el segundo sumando, para ser entero, \( c^2+4d^2i \) , que no divide á \( 4di \) , tiene que dividir á \( q \) . Lo que no es posible al ser \( c^2+4d^2i \) un factor de \( a \) .
Ahora, si suponemos (UTF4) que: \( e^4=f^4+g^4 \) , para \( e,f,g \) enteros, coprimos entre sí -y- \( g \) par. Y aplicamos al caso las soluciones del UTF2; ya que: \( (e^2)^2=(f^2)^2+(g^2)^2 \) . Tendremos que:
\( e^2=p^2+q^2 \)
\( f^2=p^2-q^2 \)
\( g^2=2pq \)
, para \( p,q \) coprimos -y- \( p\not\equiv{q} \) mod \( 2 \) . Donde además \( q \) debe ser el elemento par, porque si lo fuera \( p \) , entonces \( f^2\equiv{-1} \) mod \( 8 \) . Y nos situamos, de nuevo, en el caso que hemos visto antes.
Un saludo,
