Hola a todos, estoy intentando probar que dados dos enteros positivos números distintos \( a \) y \( b \), ambos impares, existen \( n, d \) dos enteros positivos tales que \( n|a+b \), \( d|ab \) y \( n<d \leq 2n \).
Se que si \( 3|a \) o \( 3|b \), entonces basta tomar \( n=2 \) y \( d=3 \), pero en otro caso no veo por donde seguir. ¿Alguna idea?
Un saludo y gracias por las respuestas.
EDITADO: Me he dado cuenta de que es tan sencillo como tomar \( n=\frac{a+b}{2} \) y \( d=\max\{a,b\} \) 
Pero siguen teniendo que ser distintos (o me estoy liando a lo mejor).
A ver
En efecto, si \( n=2
\), entonces \( 2<d\leq2n=4\Rightarrow d=3
\) por ser “d” impar.
Entonces consideramos “a,b” no múltiplos de 3 y “n” distinto de 2.
Así tenemos \( a+b=2k
\) con “k” entero.
Consideremos, sin perder generalidad con las letras, \( a=2k-b
\) primo con “b” también primo.
Entonces podemos considerar que la desigualdad a tomar en cuenta es \( k<2k-b\leq2k
\); y se queda en ver esto \( k<2k-b
\), porque lo otro es obvio.
Si b= k sería igual, no menor. Y eso puede ocurrir si a=b, si son el mismo primo. Luego es necesario \( a\neq b
\) para que sea general. Por ejemplo, \( 5+5=10
\), tienes \( 5<2\cdot5-5\leq10\Rightarrow5<5...
\) que es falso.
*(Aunque ya digo que es muy posible que no considere algo más y me esté equivocando)
Saludos.
