[LeJoha]

Buenas tardes, estoy resolviendo esta demostración y estoy un poco confundida respecto a como empezar:
Sean \( a,b \) enteros positivos primos entre sí. Probar que si \( ab=c^n \) entonces existen \( e \) y \( f \) enteros positivos tales que \( a=e^n \) y \( b=f^n. \)

Quería confirmar, no puedo empezar reemplazando \( ab=(e^n)(f^n) \) porque a eso es a lo que tengo que llegar?.
Puedo despejar a y b y luego definir por ejemplo \( e=c/b \) y \( f=c/a? \)

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( \displaystyle c = \prod_{i=1}^m p_i^{k_i}  \) tenemos para un \( i \in \{1,2,3, \cdots , m \}  \).
Que \( p_i | a \cdot b  \) al ser \( p \) primo y \( (a,b) = 1 \) tenemos que \( p \) divide exactamente a uno de los factores \( a \) o \( b \) luego \( p_i^{n \cdot k_i}  \) divide exactamente a \( a \) o a \( b \).

[feriva]

Quería confirmar, no puedo empezar reemplazando \( ab=(e^n)(f^n) \) porque a eso es a lo que tengo que llegar?.

Pienso que basta con que lo expliques un poquillo con palabras. Puedes argumentarlo con el Teorema Fundamental de la Aritmética.

La descomposició de “c” en primos es única, describámosla así: \( c=p_{a}p_{b}p_{c}
 ... \), (donde puede ocurrir \( p_{i}=p_{j}
  \) o lo que sea, “c” no tiene por qué ser libre de cuadrados; por otra parte puede ocurrir también que “c” sea primo). Si es primo, \( c^{n}=ab=1^{n}\cdot p^{n}
  \), si no, \( c^{n}=(p_{a}p_{b}..)^{n}=p_{a}^{n}p_{b}^{n}...
  \).

Entonces, \( ab=c^{n}=p_{a}^{n}p_{b}^{n}p_{c}^{n}...
  \). Y el argumento para terminar también lo puedes explicar en muy pocas palabras:

Como a,b son coprimos, ninguno de ellos puede estar compuesto por un factor \( p^{n-k}
  \) “suelto” (con k mayor que cero) pues si eso ocurriera, ese primo que falta lo llevaría como factor el otro componente (“a” ó “b”, sin perder generalidad) y no serían primos entre sí.

Saludos.

[LeJoha]

Muchas gracias.