[Zaragoza]

Haciendo unas notas de clase me di cuenta que si $$S_m=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^m$$ entonces

• $$S_1=\frac{n(n+1)}{2}$$
• $$S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
• $$S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$
• $$S_4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$
• $$S_5=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$$
• $$S_6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$$
• $$S_7=\frac{n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+1)}{24}$$
• $$S_8=\frac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)}{90}$$

Como se puede apreciar $$\textcolor{red}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}$$ divide a $$S_{impar>1}$$ y $$\textcolor{red}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$ divide a $$S_{par}$$. Alguna idea de como probar que esto realmente ocurre?

[franma]

Buenas Zaragoza,

Te puede interesar esto. Al final de la sección dice lo que has visto tu.

Saludos,
Franco.

[Zaragoza]

Buenas Zaragoza,

Te puede interesar esto. Al final de la sección dice lo que has visto tu.

Saludos,
Franco.

Interesante, pero como demostrar ese hecho, eso es lo que me intriga. Gracias por la referencia trataré de ir por ese camino.

[Fernando Revilla]

Tal vez pueden ser útiles los apartados 10 y 11 de https://fernandorevilla.es/2015/09/30/diferencias-de-orden-k-y-monomios-generalizados/, en donde aparece \( S_k \) como combinación lineal de monomios generalizados.