[athairdos]

Hola; un ejercicio.de Santaló pide hallar las.coordenadas homogeneas de los.puntos impropios definidos por las.siguientes rectas:

a) 3x-y+1=0

b)x=2

c)2y+3=0

d)x-2y-3=0

Para los puntos a), c) y d), las soluciones que he encontrado (por simple cálculo directo) serían:

\( [-2, -5, 1] ó [-2, -5, 0] \);

\( [0, -3/2, 1] ó [0, -3/2, 0] \) y

\( [-1, -2, -3] ó [-1, -2, 0] \)

La pregunta es si estas soluciones son correctas (las primeras, con ultima coordenada=1; o bien las segundas, con última coordenada=0); agregando el factor \( \lambda \) en cada una de las soluciones(?).

Bueno, gracias  de antemano. Saludos.

[Fernando Revilla]

    Solución general: toda recta del plano afín es de la forma \( ax+by+c=0 \) (con lo cual \( a\ne 0 \) o \( b\ne 0 \)) y homogeneizando obtenemos \( ax+by +ct=0 \). Las coordendas homogeneas del punto impropio o del infinito de la recta se obtienen para \( t=0 \) con lo cual,

    (a) Si \( a\ne 0 \), queda \( x=-\dfrac{b}{a}y  \) y el punto del infinito de la recta es \( \left(-\dfrac{b}{a}y,y,0\right)=y\left(-\dfrac{b}{a},1,0\right) \) con \( y\ne 0 \).
    (b) Si \( b\ne 0 \), queda \( y=-\dfrac{a}{b}x  \) y el punto del infinito de la recta es \( \left(x,-\dfrac{a}{b}x,0\right)=x\left(1,-\dfrac{a}{b},0\right) \) con \( x\ne 0 \).

[athairdos]

Gracias!

Seria correcto (como método, digamos...) el calcular la solucion de la ecuación \( \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=0 \) y, luego, "orlar" el vector solución resultante agregando una 3ra componente igual a 0?

Por otro lado, una ecuación como \( ax+by+cz+d=0 \) corresponderia a un plano en un espacio afin tridimensional?

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Seria correcto (como método, digamos...) el calcular la solucion de la ecuación \( \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=0 \) y, luego, "orlar" el vector solución resultante agregando una 3ra componente igual a 0?

Si. Aunque no se porqué le buscas tres pies al gato, si Fernando te ha explicado la solución general.

Por otro lado, una ecuación como \( ax+by+cz+d=0 \) corresponderia a un plano en un espacio afin tridimensional?

Si.

Saludos.