Aclaraciones:Spoiler
Desde hace menos de una semana empecé un estudio sobre las propiedades de los números naturales en base 10 y qué relación tienen con sus dígitos. Descubrí un teorema que después de buscar y buscar una publicación o artículo en donde presentaran este teorema, finalmente no encontré nada al respecto, sin embargo, dejo abierta la posibilidad de que no sea un descubrimiento mío. Si lo es, ¿Amerita su publicación en arXiv? mi intención no es plagiar ninguna idea en caso de que ya haya sido publicada, pero tampoco me gustaría que alguien me la "plagie" así que estoy indeciso. Por lo tanto la presentaré aquí, pues al menos lo dejo por escrito.
Primero voy a dar una explicación informal para presentar la idea general y luego sí de la manera más rigurosa que me es posible dada mi poca experiencia matemática.
Si tengo un repdigit, es decir, un número que tiene todos sus dígitos iguales, por ejemplo un 7777, un 55, etc. Y lo divido entre la suma de sus dígitos de esta forma:
(Repdigit de 5 cifras)\( \displaystyle\frac{99999}{9+9+9+9+9}=2222.2 \)
Puedo hacer lo mismo con otro repdigit
con el mismo número de cifras y me dará exactamente lo mismo:
(Repdigits de 5 cifras)\( \displaystyle\frac{99999}{9+9+9+9+9}=2222.2 \)
\( \displaystyle\frac{77777}{7+7+7+7+7}=2222.2 \)
Si hacemos esto con los repdigits de una, dos, tres cifras, etc., nos dará una lista o sucesión de números:
\( 1,\ 5.5, \ 37, \ 277.75, \ 2222.2, \ 18518.5, \ 158730.1428 ... \)
Planteamiento formal y demostración:Sean \( a_n \) y \( b_n \) repdigits de \( n \) cifras cada uno, se cumple que:
\( \displaystyle\frac{10^{n-1} a + 10^{n-2} a + ... + 10^{n-n} a} {an}
=
\displaystyle\frac{10^{n-1} b + 10^{n-2} b +...+ 10^{n-n} b}{bn}
\)
Es decir
\( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n{10^{n-k} a}}{an}
= \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n{10^{n-k} b}}{bn} \)
La demostración es inmediata:Primero factorizo \( a \) y \( b \)
\( \displaystyle\frac{a \displaystyle\sum_{k=1}^n{10^{n-k} }}{an}
= \displaystyle\frac{b \displaystyle\sum_{k=1}^n{10^{n-k} }}{bn} \)
Y simplifico
\( \displaystyle\frac{ \displaystyle\sum_{k=1}^n{10^{n-k} }}{n}
= \displaystyle\frac{ \displaystyle\sum_{k=1}^n{10^{n-k} }}{n} \)
Cuando aplico esa fórmula del final para cada n, forma una sucesión de términos la cual me he puesto a estudiar, si alguien se anima podemos intercambiar datos y peculiaridades de dicha sucesión:
\( \displaystyle\frac{ \displaystyle\sum_{k=1}^n{10^{n-k} }}{n} = 1,\ 5.5, \ 37, \ 277.75, \ 2222.2, \ 18518.5, \ 158730.1428 ... \)
¿Qué dicen? ¿Creen que ya haya sido descubierto? Si no, ¿en dónde debería publicarlo? ¿o no vale la pena ser publicado?
