[Bolsano]

¿Es cierta la siguiente implicación?
Si S es un conjunto numérico denso entonces el promedio entre dos elementos a y b cualesquiera de dicho conjunto siempre pertenece al conjunto S.

Gracias de ante mano

[martiniano]

Hola.

Es falso. El conjunto de los números irracionales es denso en el de los reales, pero la media aritmética entre un número irracional y su opuesto, que también es irracional, da cero, que es racional.

Un saludo.

[Bolsano]

Gracias por tu respuesta. ¿Esto mismo vale si estudiamos la densidad de los irracionales en sí mismo?

Es decir, ¿los irracionales son un conjunto denso en sí mismo?


Si es denso en si mismo y hay casos donde el promedio da cero (y no es irracional) entonces, a partir de lo anterior, podemos decir que:

probar que el promedio entre dos números no pertenece al mismo conjunto no basta para probar que un conjunto NO es denso. ¿Es correcto?

[martiniano]

Hola.

Gracias por tu respuesta. ¿Esto mismo vale si estudiamos la densidad de los irracionales en sí mismo?
Es decir, los irracionales son un conjunto denso en sí mismo, pero el promedio entre un irracional y su opuesto da cero.

Sí. También vale.

Porque entonces, a partir de lo anterior, podemos decir que probar que el promedio entre dos números no pertenece al mismo conjunto no basta para probar que un conjunto NO es denso.

Efectivamente. No basta.

Un saludo.

[Bolsano]

¿Saben dónde puedo encontrar una demostración de que los irracionales son un conjunto denso en si mismo? Es decir, que entre dos irracionales diferentes siempre hay otro irracional.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Saben dónde puedo encontrar una demostración de que los irracionales son un conjunto denso en si mismo? Es decir, que entre dos irracionales diferentes siempre hay otro irracional.

Dados \( x<y \) irracionales. Toma \( z=\dfrac{x+y}{2} \).

- Si \( z \) es irracional hemos terminado.
- Si \( z \) es racional comprueba que \( \dfrac{x+z}{2} \) es un irracional entre \( x \) e \( y \).

Saludos.

[Bolsano]

Gracias. Muy buena la idea de demostración que compartes
Saludos