Hola a todos. Tengo el siguiente problema, para el cual tengo algunas ideas. Pero no lo he podido completar.
Consideremos \( M \times N \) dotado con la estructura de variedad producto y sean \( X \in X(M) \) y \( Y \in Y(M) \) campos vectoriales en \( M \) y \( N \) respectivamente. Sabemos que \( T_{(p,q)} M \times N \) se identifica con \( T_{p} M \times T_{q} \). Pruebe que bajo esta identificación \( X \otimes Y \) definida por \( (X \otimes Y)_{(x,y)}=(X_x, Y_y) \) es un campo vectorial (suave) en \( M \times N \). Es más, pruebe que el corchete de Lie en \( M \times N \) satisface:
\( [(X_1, Y_1), (X_2, Y_2)]=[(X_1, X_2), (Y_1, Y_2)] \). Para la primera parte ¿Tomo la proyección? Y para la segunda colocando \( X_1=f^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial x_{i}}, Y_1=g^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial g_{i}} \) sé que: \( X_1 \otimes Y_1=f^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial x_{i}}+g^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial g_{i}} \) Ya no sé como seguir. Quedo agradecido.
