Hola,
En UTF 3
Supongamos que \( a^3+b^3+c^3=0 \) , para \( a,b,c \) enteros y coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( abc \) . Entonces, puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Establezcamos pues, por ejemplo, que \( 3 \) , como mínimo, divide á \( a \) .
Tendremos: \( -c^3=a^3+b^3 \) -y- \( -c^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . Los dos factores últimos de la derecha son coprimos salvo por \( 3 \) , pero como \( 3 \) no divide á \( c \) , entonces serán terceras potencias. Además \( (a+b)^2-3ab=(a+b\omega)(a+b\omega^2) \) , para \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) , la raíz primitiva tercera de la unidad. Y : \( a+b\omega\,\,,\,\,a+b\omega^2 \) son coprimos; dado que, por un lado, su suma es \( 2a+b\omega(1+\omega) \) y su diferencia \( b\omega(1-\omega) \) , siendo \( \omega \) -y- \( \omega+1 \) unidades en \( \mathbb{Z}(\omega) \) y por otro, \( 1-\omega \) es un asociado de \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) -y-, por tanto, divide á \( a \) . En definitiva, para \( -c^3=(a+b)(a+b\omega)(a+b\omega^2) \) , tendremos que estos 3 factores son coprimos entre sí y por consiguiente cubos perfectos en \( \mathbb{Z}(\omega) \) .
Al ser \( a+b\omega \) un cubo, entonces en \( \mathbb{Z}(\omega) \) existirá un \( \epsilon(p+q\omega)^3=a+b\omega \) , para unos \( p,q \) enteros y coprimos -y- \( \epsilon \) una unidad de \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Las unidades de \( \mathbb{Z}(\omega) \) son: \( \pm 1\,\,,\,\,\pm\omega \) -y- \( \pm\omega^2 \) , para \( \omega^3=1 \) .
Caso 1. Si las unidades son: \( \pm\,1 \) .
\( \pmb{a+b\omega=\pm\,(p+q\omega)^3}\,=\,\pm\,(p^3+3p^2q\omega+3p q^2\omega^2+q^3\omega^3)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+(3p^2q-3pq^2)\omega)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) \( \Rightarrow \) \( a=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \) -y- \( b=\pm\,3pq (p-q) \) . Pero entonces \( 3 \) divide á \( b \) , lo que no es.
Caso 2. Las unidades son: \( \pm\,\omega \) .
\( \pmb{a+b\omega=\pm\,\omega\,(p+q\omega)^3}\,=\,\pm\,\omega\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2)\omega\pm\,3pq(p-q)\omega^2 \) \( \Rightarrow \) \( \mp\,3pq(p-q)\pm\,(p^3+q^3-3pq^2\mp\,3pq(p-q))\omega \) . Luego: \( a=\mp\,3pq(p-q) \) (1) -y- \( b=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2)\mp\,3pq(p-q) \) . Lo que puede ser porque \( 3 \) , efectivamente, divide á \( a \) . Además, como observamos que \( b\equiv{\pm\,(p^3+q^3)} \) mod \( 3 \) , entonces \( p+q\not\equiv{0} \) mod \( 3 \) . Por lo que \( p\equiv{0} \) mod \( 3 \) -ó- \( q\equiv{0} \) -ó- \( p\equiv{q} \) mod \( 3 \) -y- \( 9 \) , como mínimo, dividirá á \( a \) .
Caso 3: Las unidades son: \( \pm\,\omega^2 \) .
\( \pmb{a+b\omega=\pm\,\omega^2\,(p+q\omega)^3}\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2)\omega^2\pm\,3pq(p-q)\omega^3 \) \( \Rightarrow \) \( \pm\,3pq(p-q)\mp\,(p^3+q^3-3pq^2)\mp\,(p^3+q^3-3pq^2)\omega \) . Luego: \( a=\pm\,3pq(p-q)\mp\,(p^3+q^3-3pq^2) \) -y- \( b=\mp\,(p^3+q^3-3pq^2) \) . De esta manera: \( a=\pm\,3pq(p-q)+b \) -y- \( a-b=\pm\,3pq(p-q) \) . Lo que no puede ser, porque \( 3 \) no divide á \( a-b \) .
En conclusión: \( \pmb{\pm\,\omega\,(p+q\omega)^3=a+b\omega} \) (2) .
Como \( (a+b\omega)^2 \) será también un cubo perfecto en \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Y : \( (a+b\omega)^2=a^2+b^2\omega^2+2ab\omega\,=\,a^2-b^2+b(2a-b)\omega \) . Y sabemos que \( a^2-b^2 \) -y- \( b(2a-b) \) son coprimos porque lo son los factores del primero: \( a+b \) -y- \( a-b \) con los factores del segundo: \( b \) -y- \( 2a-b \) . Entonces existirá un \( \epsilon(r+s\omega)^3=a^2-b^2+b(2a-b)\omega \) , para unos \( r,s \) enteros y coprimos -y- \( \epsilon \) una unidad de \( \mathbb{Z}(\omega) \) .
Caso 1. Si las unidades son: \( \pm\,1 \) .
\( \pmb{a^2-b^2+b(2a-b)\omega=\pm\,(r+s\omega)^3}\,=\,\pm\,(r^3+3r^2s\omega+3rs^2\omega^2+s^3\omega^3)\,=\,\pm\,(r^3+s^3-3rs^2+3rs(r-s)\omega) \) . Luego: \( a^2-b^2=\pm\,(r^3+s^3-3rs^2) \) -y- \( b(2a-b)=\pm\,3rs(r-s) \) . Pero \( 3 \) no divide á \( b(2a-b) \) .
Caso 2. Las unidades son: \( \pm\,\omega \) .
\( \pmb{a^2-b^2+b(2a-b)\omega=\pm\,\omega\,(r+s\omega)^3}\,=\,\pm\,\omega(r^3+s^3-3rs^2+3rs(r-s)\omega)\,=\,\pm\,(r^3+s^3-3rs^2)\omega\pm\,3rs(r-s)\omega^2 \) \( \Rightarrow \) \( \mp\,3rs(r-s)\pm\,(r^3+s^3-3rs^2\mp\,3rs(r-s))\omega \) . Luego: \( a^2-b^2=\mp\,3rs(r-s) \) -y- \( b(2a-b)=\pm\,(r^3+s^3-3rs^2)\mp\,3rs(r-s) \) . Pero \( 3 \) no divide á \( a^2-b^2 \) .
Caso 3: Las unidades son: \( \pm\,\omega^2 \) .
\( \pmb{a^2-b^2+b(2a-b)\omega=\pm\,\omega^2\,(r+s\omega)^3}\,=\,\pm\,\omega^2(r^3+s^3-3rs^2+3rs(r-s)\omega)\,=\,\pm\,(r^3+s^3-3rs^2)\omega^2\pm\,3rs(r-s)\omega^3 \) \( \Rightarrow \) \( \pm\,3rs(r-s)\mp\,(r^3+s^3-3rs^2)\mp\,(r^3+s^3-3rs^2)\omega \) . Luego: \( a^2-b^2=\pm\,3rs(r-s)\mp\,(r^3+s^3-3rs^2)
\) -y- \( b(2a-b)=\mp\,(r^3+s^3-3rs^2) \) . De esta manera: \( a^2-b^2=\pm\,3rs(r-s)+b(2a-b) \) -y- \( a^2-b^2-2ab+b^2=a(a-2b)=\pm\,3rs(r-s) \) (3) . Efectivamente. Aquí \( 3 \) divide á \( a \) -y- también \( 9 \) , dado que \( -b^2\equiv{\mp\,(r^3+s^3)} \) mod \( 3 \) -y- \( r+s\not\equiv{0} \) mod \( 3 \) .
En definitiva: \( \pmb{\pm\,\omega^2\,(r+s\omega)^3=a^2-b^2+b(2a-b)\omega=(a+b\omega)^2} \) (4) .
Como \( a(a-2b)=\pm\,3rs(r-s) \) (3) ; por inspección, tenemos que:
- Si \( a=\pm\,3r \) -ó- \( a=\pm\,3s \) -supongamos a partir de ahora, sin perder generalidad, siempre \( s \) - , entonces \( a-2b=r(r-s) \) . Y como \( r,s \) son coprimos: ó \( r \) es par, ó \( s \) es par ó lo será \( r-s \) , para \( r,s \) impares; por lo que \( a \) es a la fuerza par. Pero entonces no puede ser esta última ecuación porque \( s \) sería par -y- \( r(r-s) \) impar.
- Si \( a=\pm\,3(r-s) \) , entonces \( r,s \) deben ser ambos impares, puesto que \( a \) es par, quedando: \( a-2b=rs \) . Pero no puede ser porque \( a-2b \) será también par. Por otra parte, todo esto mismo ocurrirá si: \( a=\pm\,3s(r-s) \) .
- Además, \( a \) no puede ser \( 3 \) -y- al mismo tiempo parte de \( r \) y parte de \( s \) . Debido a que ese factor común no podría dividir la parte derecha de la ecuación: \( \pm\,\omega^2\,(r+s\omega)^3=a^2-b^2+b(2a-b)\omega \) (4) .
- Luego \( a \) sólo puede ser \( 3 \) -y- parte de \( s \) -y-, en todo caso, parte de \( r-s \) (5) (partes que incluirían naturalmente las que son múltiplos de \( 3 \) , de \( s \) ó bien de \( r-s \) ) .
De esta manera, tenemos que: \( \pm\,\omega\,(p+q\omega)^3=a+b\omega \) (2) , entonces, por (4) : \( (\pm\,\omega\,(p+q\omega)^3)^2=\pm\,\omega^2\,(r+s\omega)^3 \) . Así: \( \omega^2(p+q\omega)^6=\pm\,\omega^2\,(r+s\omega)^3 \) -y- \( (p+q\omega)^6=\pm\,(r+s\omega)^3 \) \( \Rightarrow \) \( (p+q\omega)^3=\pm\,(r+s\omega) \) . Conocemos que \( (p+q\omega)^3=p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega \) . Luego: \( p^3+q^3-3pq^2=\pm\,r \) -y- \( 3pq(p-q)=\pm\,s \) . Pero por (1) teníamos que \( a=\mp\,3pq(p-q) \) . Entonces: \( \mp\,a=\pm\,s \) . Pero esto no es lo que hemos dicho arriba (5) . De hecho, si sustituimos en (3) : \( a(a-2b)=\pm\,3rs(r-s) \) , será: \( a(a-2b)=\mp\,3ra(r-s) \) \( \Rightarrow \) \( a-2b=\mp\,3r(r-s) \) . Lo que es una contradicción, porque \( 3 \) no divide á \( a-2b \) .
En UTF p
Lo mismo ocurrirá, conjeturo, con todos los exponentes primos del Caso 2 de Sophie Germain. Puesto que tendremos siempre: \( -c^p=a^p+b^p=(a+b)((a+b)^{p-1}-pab\,\cdot\,k\,\cdot\,\,) \) -y- el primer factor (\( a+b \)) será coprimo con el segundo salvo, en su caso, por el primo del exponente que debe dividir a una de las variables. Luego si \( p \) divide, por ejemplo, á \( a \) , entonces en \( Z(\zeta_p) \) tendremos que: \( -c^p=(a+b)(a+b\omega)(a+b\omega^2)\,\,\cdot\,\cdot\,\cdot\,\,(a+b\omega^{p-1}) \) ; donde cada factor será una p-ésima potencia y por consiguiente lo serán también \( a+b\omega \) -y- \( (a+b\omega)^2 \) . Él único problema aquí aparentemente insalvable son las unidades, que a partir de \( p=5 \) son \( \infty \) . Pero estoy convencido -de ahí la conjetura- que se puede demostrar que si \( a+b\omega=\epsilon_1(p'+q'\omega)^p \) -y- \( (a+b\omega)^2=\epsilon_2(r'+s'\omega)^p \) , entonces, ó bien \( \epsilon_1=\epsilon_2 \) , ó bien \( (\epsilon_1)^2=\pm\,(\epsilon_2) \) .
Un saludo,
