Hola
Lo que hago no es interpolar sino obtener EXACTAMENTE el círculo que es tangente a los dos ejes y a la cónica. Adjunto archivo pdf donde analizo la diferencia entre soluciones exactas y aproximadas.
No sé a que viene filosofar sobre lo que son soluciones exactas y aproximadas. Creo que los dos sabemos perfectamente que es una solución exacta, explícita de una ecuación y otra aproximada.
Pero se trata de llamar a las cosas por su nombre.
El ejemplo de la catenaria es perfecto. Una catenaria NO es una parábola; ¿hay situaciones en que la aproximación de una catenaria por una parábola puede ser suficientes? Si. Pero no sería correcto hacerlas pasar por EXACTAS.
Como última alusión al PDF, allí no sé si pones en duda mis fórmulas. Dímelo y si quieres te demuestro como las he deducido. Son sencillas. Dicho esto sería bueno que usases argumentos concretos para rebatir las afirmaciones.
La expresión analítica que das de la curva de centros, no se resuelve el problema de encontrar la circunferencia tangente a ambos ejes y a la elipse. ¿Cuál es el valor de t para el centro de tal círculo?
Efectivamente no soy capaz de despejar explícitamente \( t \). Aunque ojo, si se obtiene una ecuación en una variable, el parámetro \( t \) que puede ser resuelta por métodos numéricos, sin más que igualar las dos coordenadas de la expresión explícita de los centros que indicados.
Desde el principio también presenté otras ecuaciones de donde, resolviéndolas, podía obtenerse el centro buscado. Problema: no soy capaz de dar una solución explícita cómoda en función de \( a \) y \( b \). Digo cómoda, porque en realidad si se obtiene la expresión, lo que pasa es que es horrible ya que supone resolver ecuaciones polinómicas de tercer o cuarto grado.
Por otra parte tampoco por el método que utilizas, tenemos una expresión explícita de las coordenadas del centro en función de \( a \) y \( b \). ¿De acuerdo en eso?.
Partir del punto de tangencia de la circunferencia con el eje, no sería una buena opción pues el dato inicial es D.
Bueno si el dato inicial es \( D \), es decir, el punto de corte con el eje \( OX \) de la normal a la elipse en el punto de tangencia, cierto.
Pero a mi me parece que la intención de Tom Gim era partir del punto de tangencia de la circunferencia con el eje \( OX \).
No obstante no creo que esto deba de ser un punto de disputa. Son diferentes aproximaciones a un mismo problema. Los distintos puntos de vista variando el dato inicial son enriquecedores. ¿De acuerdo?.
Mira la diferencia entre evaluar una función en un punto y hallar el límite cuando se tiende a ese punto.
No entiendo a que viene esto.
Vuelvo a insistir, no es una aproximación, es una solución exacta.
¡Pero te he dado argumentos concretos que DEMUESTRAN que tu solución no es exacta!.
1) La elipse interpoladora que usas varía al modificar los cinco puntos que usas. Es más si dejas cuatro de ellos fijos y modificas el quinto, la elipse va variando. Así que es imposible que el punto de corte con la recta \( x=y \) donde localizas el centro buscado sea exactamente el mismo, porque dos cónicas no degenereadas diferentes sólo pueden coincidir en cuatro puntos.
2) La curva de centro es una curva algebraica. Si es irreducible no puede ser un trozo de grado dos y otro de de grado diferente. No puede ser una cónica "a trocitos"; y es evidente de la parametrización que he presentado que NO es una cónica.
El punto de corte que hallo en el eje OY es un problema local. Por supuesto que si no alejamos del eje OY suceden cosas incomprensibles o claramente erróneas.
No es incomprensible; es muy fácil de entender. La curva de centros no es una elipse y por tanto al alejarse de los puntos de interpolación se pone más de manifiesto el error.
Si se trata de hallarlo gráficamente intersecando la curva de centros que yo he parametrizado con al bisectriz de los ejes \( x=y \) también puede hallarse el centro de la circunferencia que inicialmente se buscaba en este hilo.
Puedes verlo en el gráfico que planteo a continuación. También puedes ver como la elipse interpoladora varía al dejar fijos cuatro puntos y mover el quinto (moviendo el punto \( C \)).
Ambas cosas se activan "pinchando" en las casillas de control.
Se ve que la elipse es MUY BUENA APROXIMACIÓN de la curva exacta en la zona cercana al punto que nos interesa, no te lo niego... pero no deja de ser una aproximación y esto te lo he razonado objetivamente.
Saludos.
