[FerOliMenNewton]

Hola a todos,
Recientemente empecé a estudiar un poco de teoría de la medida, y se me da la siguiente definición: un conjunto \( U\subset{\mathbb{R}^{n}} \) es \( \sigma -  \)elemental si existe una sucesión de conjuntos elementales \( \left\{{A_{n}  : n\in{\mathbb{N}}    }\right\} \)(conjuntos que son unión finita de intervalos), los cuales son disjuntos dos a dos, i.e , \( A_{n}\cap{A_{m}} = \emptyset \) si \( n \neq m \), tal que

\( U=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n } \)

Dicho esto, me interesa probar que la intersección de una sucesión de conjuntos  \( \sigma -  \)elementales y la diferencia entre dos conjuntos  \( \sigma -  \)elementales no es necesariamente  \( \sigma -  \)elemental.
La sugerencia del libro es considerar el conjunto ternario de Cantor, pero no veo muy claro cómo construir un contraejemplo a partir de ese conjunto .
¿Podrían darme alguna sugerencia  por favor?
De antemano gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos,
Recientemente empecé a estudiar un poco de teoría de la medida, y se me da la siguiente definición: un conjunto \( U\subset{\mathbb{R}^{n}} \) es \( \sigma -  \)elemental si existe una sucesión de conjuntos elementales \( \left\{{A_{n}  : n\in{\mathbb{N}}    }\right\} \)(conjuntos que son unión finita de intervalos), los cuales son disjuntos dos a dos, i.e , \( A_{n}\cap{A_{m}} = \emptyset \) si \( n \neq m \), tal que

\( U=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n } \)

Dicho esto, me interesa probar que la intersección de una sucesión de conjuntos  \( \sigma -  \)elementales y la diferencia entre dos conjuntos  \( \sigma -  \)elementales no es necesariamente  \( \sigma -  \)elemental.
La sugerencia del libro es considerar el conjunto ternario de Cantor, pero no veo muy claro cómo construir un contraejemplo a partir de ese conjunto .
¿Podrían darme alguna sugerencia  por favor?
De antemano gracias.

Pues el conjunto de Cantor es intersección de una sucesión de conjuntos  \( \sigma -  \)elementales pero no es \( \sigma \)-elemental.

Esa sucesión es la que surge de manera elemental en su construcción.

Primero: el intervalo \( [0,1] \)
Segundo: \( [0,1/3]\cup [2/3,1] \)

etcétera...

Saludos.

[FerOliMenNewton]

Oh ya, y para la otra parte tenemos que también  puedo expresar al conjunto de Cantor como \( [0,1]-\displaystyle\bigcup_{n \in{\mathbb{N}}}^{} I_{n} \), donde los \( I_{n} \) son esos intervalos que le quitamos y cuya unión también es numerable y son disjuntos dos a dos, luego , el \( [0,1] \) también es \( \sigma \)-elemental. Sólo me quedaría probar que el conjunto de Cantor no es \( \sigma \)-elemental pero no parece muy difícil si tenemos en cuenta sus propiedades.
¡Muchas gracias!