Teorema: Si la conjetura de Goldbach fuera falsa, entonces lo sería para una cantidad infinita de pares distintos.
Consideremos
1º \( \exists2n-2k=p_{i}+p_{j}
\) para naturales \( n>1
\), \( k>0
\) hasta cierto “k”, y \( p_{i},p_{j}
\).
2º \( \nexists2n=p_{i}+p_{j}
\) para \( p_{i},p_{j}
\) primos.
Es decir, 2n sería el par más pequeño que, hipotéticamente, dejaría de cumplirla; digamos el primero en fallar.
Entonces
\( \exists2n=p_{i}+c
\), con “c” compuesto y \( p_{i}
\) primo; y tomemos ambos coprimos con 2n.
Ahora, siempre existe \( c=x-q
\) con “x” algún par y “q” algún primo.
Veamos cualquier caso: por ejemplo, si c=25, basta sumarle 3 y tenemos x=28; si le sumamos 5 tenemos x=30, etc,... y así para todos los primos encontramos infinitos equis tal que la diferencia dicha es igual a “c”.
Reescribamos entonces la igualdad \( 2n=p_{i}+c
\) sutituyendo por lo dicho:
\( 2n=p_{i}+(x-q)
\).
Por 2º tenemos que \( (x-q)
\) no puede ser primo; es decir, no existe \( x=c+q
\) con “c” primo.
Luego “x” es un par que tampoco cumple la conjetura.
Conclusión:
Como \( 2n \) es el primero que deja de cumplir la conjetura en hipótesis, es fácil ver que existirían infinitos pares x, tales que \( x>2n
\), que tampoco la cumplirían.
¿Dónde está el error?
