[rojamer]

¿Es posible encontrar identidades análogas cuando el divisor del argumento de la función piso es un entero mayor que 2?

\( \left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor=\dfrac{2n-1+(-1)^n}{4} \)

[url=https://oeis.org/w/images/9/96/Funcion_piso_de_un_entero_medio.png]https://oeis.org/w/images/9/96/Funcion_piso_de_un_entero_medio.png[/url]


P.D. La ecuación fue escrita por un moderador para que el mensaje se ajuste a las reglas del foro.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Es posible encontrar identidades análogas cuando el divisor del argumento de la parte entera es mayor que 2?

\( \left[\dfrac{n}{2}\right]=\dfrac{2n-1+(-1)^n}{4} \)

[/nobbc][/s]

P.D. La ecuación fue escrita por un moderador para que el mensaje se ajuste a las reglas del foro.

Usando los complejos, si \( x=e^{2\pi i/k}  \) la raíz \( k \)-ésima primitiva de la unidad se tiene que:

\( \left[\dfrac{n}{k}\right]=\dfrac{1}{k}\left(n-k+1+\displaystyle\sum_{m=1}^{k-1}{}\dfrac{r^{m(n+1)}-1}{r^m-1}\right) \)

Spoiler

La fórmula se basa en que por la fórmula de la suma de una progresión geométrica si \( r^a\neq 1 \), es decir, si \( a \) no es múltiplo de \( k \):

\( f(a)=\displaystyle\sum_{m=0}^{k-1}{}(r^a)^m=\dfrac{r^{ka}-1}{r^a-1}=0 \)

Si \( r^a=1 \),es decir si \( a \) es múltiplo de \( k \), directamente \( f(a)=k. \)

Luego se suma \( \displaystyle\sum_{a=0}^n{}f(a) \).

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Disculpa... soy un aficionado a las matemáticas. Sería una barbarie si sugiero la siguiente identidad para calcular las potencias de la unidad imaginaria?

\( i^{n}=(-1)^{\small\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor}\big((1-(n-2\small\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor))+(n-2\small\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor)i\big) \)

No es ninguna barbarie, es correcto.

Saludos.