Hola
En \( \mathbb{P}_\mathbb{R}^3 \), sean \( \pi \) el plano con ecuación \( x_0+5x_1+2x_3=0 \) y \( Q \) la cuadrica con ecuación \( x_0^2+x_2^2+4x_0x_1+2x_3(x_0-x_1)=0. \) Describir \( Q \) y decir si el plano \( \pi \) es tangente a \( Q. \) Si es así, encontrar las coordenadas del punto de tangencia.
Hola, calculamos el producto interior igual a cero?
No sé muy bien que teoría has estudiado sobre esto o que apuntes o libro de referencia tienes (si no has estudiado nada ni tienes libro y apuntes, deja de plantear problemas y ponte primero a leer sobre el tema).
Una forma de plantear el problema es la siguiente. Dada una cuádrica de ecuación matricial:
\( \begin{pmatrix}x_0&x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x_0\cr x_1\cr x_2\cr x_3\end{pmatrix}=0 \)
Un plano \( a_0x_0+a_1x_1+a_2x_2+a_3x_0=0 \) es tangente si y sólo si sus coeficientes verifican la ecuación de la cuádrica dual, es decir, cumplen:
\( \begin{pmatrix}a_0&a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}A^{-1}\begin{pmatrix}a_0\cr a_1\cr a_2\cr a_3\end{pmatrix}=0 \)
Y además en ese caso el punto de tangencia viene dado por \( \begin{pmatrix}a_0&a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}A^{-1} \).
Saludos.
