[dycm]

Sean \( a \) y \( b \) números enteros.
Dq. Si \( mcd(a,b)=1 \) entonces \( mcd(a+b,ab)=1 \)

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( d = mcd(a+b,ab)  \) en el caso que \( d > 1 \) existe \( p \) primo con \( p|d \) en este caso,\( p|a+b \) y \( p|ab \) por ser \( p \) primo tenemos que \( p|a \) o \( p|b \) intenta llagar ahora a un absurdo.

[feriva]

Sean \( a \) y \( b \) números enteros.
Dq. Si \( mcd(a,b)=1 \) entonces \( mcd(a+b,ab)=1 \)

Una manera pude ser así:

Supongamos que existe un factor “f” distinto de 1 tal que \( f|(a+b)
  \) y \( f|ab
  \).

Entonces “f” ha de dividir igualmente a la suma \( a+b+ab
  \).

Al ser \( mcd(a,b)=1
  \), “f” divide a “a” ó “f” divide a “b”; no a los dos.

Supongamos que divide a “a”, entonces divide a \( a+ab
  \), pero no a “b”, con lo que no puede ser entero. Análogamente ocurre si divide a “b”. Por tanto, \( mcd(ab,\, a+b)=1
  \).

Saludos.

[dycm]

Sea \( d = mcd(a+b,ab)  \) en el caso que \( d > 1 \) existe \( p \) primo con \( p|d \) en este caso,\( p|a+b \) y \( p|ab \) por ser \( p \) primo tenemos que \( p|a \) o \( p|b \) intenta llagar ahora a un absurdo.

Gracias 

[dycm]

Sean \( a \) y \( b \) números enteros.
Dq. Si \( mcd(a,b)=1 \) entonces \( mcd(a+b,ab)=1 \)

Una manera pude ser así:

Supongamos que existe un factor “f” distinto de 1 tal que \( f|(a+b)
  \) y \( f|ab
  \).

Entonces “f” ha de dividir igualmente a la suma \( a+b+ab
  \).

Al ser \( mcd(a,b)=1
  \), “f” divide a “a” ó “f” divide a “b”; no a los dos.

Supongamos que divide a “a”, entonces divide a \( a+ab
  \), pero no a “b”, con lo que no puede ser entero. Análogamente ocurre si divide a “b”. Por tanto, \( mcd(ab,\, a+b)=1
  \).

Saludos.

Gracias 

[homohabilis]

Alternativamente ...

Supongamos que tenemos un divisor no trivial \( d|(a+b,ab) \) 

\( d|a+b \Rightarrow{} d|(a+b)^2  \)

Pero \( d|ab \) luego \( d|(a+b)^2 -4ab= (a-b)^2 \)

Entonces \( d|a-b \)

Con lo que tenemos \( d|a+b,a-b \)

Y por lo tanto divide a cualquier combinación lineal suya. Es decir: \( d|a, d|b \Rightarrow{ }(a,b)\neq1  \)

Contradicción.

Nota: en realidad, \( d|a+b,a-b \) querría decir que \( d|2a,2b \) luego podría ser d=2, pero este caso es inmediato. Por no liar la demo lo dejo con la errata.

[geómetracat]

Cuidado también con el paso \[ d\mid (a-b)^2 \] implica \[ d \mid a-b \]. Esto es cierto si \[ d \] es primo, pero no necesariamente en otro caso.

[homohabilis]

Efectivamente.