Buenas,
Sea \( f(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{z^n}{n!}} \), es claro que aplicando el criterio del cociente a series (en valor absoluto) queda,
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{{\left |{z}\right |}}{n+1}=0 \), para todo \( z\in{\mathbb{C}} \), por tanto f(z) converge en todo z.
Ahora bien, me gustaría estudiarlo por el teorema de Hadamard, en el que el radio de convergencia, R, se define como \( R^{-1}=\displaystyle \lim_{n \to{+} \infty}{sup\left\{{|a_n|^{\displaystyle\frac{1}{n}}}\right\}} \).
Entonces, se tiene que \( a_n=\displaystyle\frac{1}{n!} \) por tanto \( \displaystyle \lim_{n \to{+} \infty}{sup \left\{{|a_n|^{\displaystyle\frac{1}{n}}}\right\}} \)\( =\displaystyle \lim_{n \to{+} \infty}{sup \left\{ |\displaystyle\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}| \right\} }=1 \) no?, porque como \( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \) tiende a cero, y es decreciente, entonces el supremo de esa sucesión va a ser 1 que corresponde al primer término. Pero entonces \( R=1 \), lo cual no coincide con lo que he calculado antes. Sin embargo si calculo el limite de \( a_n \) sin tener en cuenta el supremo, entonces el límite es 0, y \( R=\infty \), que es lo que busco. ¿Entonces no tengo que tener en cuenta el supremo en el límite?
Acabo de encontrar que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{sup} \) denota límite superior y no límite del supremo, por tanto, el límite de hadamard daría como resultado 0 y todo tendría perfecto sentido. La duda queda resuelta
