[URama]

Hola! Me podríais ayudar a solucionar la siguiente serie numérica según sus valores de a:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a(a+n)}n)^n, a\in\Re \),
para a>0 o a=0 es claro puesto que aplicando el criterio de la raiz n-ésima deduces que si a<1 la série converge, en todos los otros casos diverge.

No sé como atacar al problema cuando a es menor a zero: \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a^n(1+\frac{a}{n})^n \), como a<0 entreveo que es como una série alternada pero no puedo aplicar Leibniz porque la sucesión me parece que es creciente. Me podríais ayudar?

Muchas gracias!

[URama]

Valee! Lo tengo solucionado, perdon por crear un tema innecesario!

Si a<-1 el termino general no tiende a zero y si -1<a<0 la serie converge absolutamente y por lo tanto converge.

 

[Ricardo Boza]

El gran interrogante de este ejercicio es la posible no convergencia de \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\Big(1-\dfrac{1}{n}\Big)^n \)

Edit: Pero como bien has dicho, si fuese convergente, por la condición necesaria de convergencia se daría también que \( \displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-1)^n\Big(1-\dfrac{1}{n}\Big)^n=0. \) Pero se puede comprobar que \( \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Big(1-\dfrac{1}{n}\Big)^n=\dfrac{1}{e} \), por lo que \( \displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-1)^n\Big(1-\dfrac{1}{n}\Big)^n=\dfrac{1}{e}\cdot\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-1)^n\neq0 \). No se cumple una condición necesaria de convergencia, por lo que la serie no puede ser convergente.

Edit 2: O para ser más formales quizá, existe una subsucesión haciendo el cambio \( n=2k \), \( (k\in \mathbb{N}\setminus\{0\}) \) tal que el límite no es cero.

Saludos.