[lex]

Buenas tengo la siguiente pregunta:
Supongamos que \( n \) es un entero positivo y que \(  k \) es un entero tal que \( 0\leq{k}\leq{n-2} \). ¿Existe siempre un polinomio de grado \( n \) que tenga exactamente \( k \) puntos de inflexión?

[manooooh]

Hola

Sinceramente no entiendo la pregunta. ¿Está buscando un valor constante o pregunta si el intervalo en donde se mueve \( k \) es correcto? Si me ayudan estaría agradecido.

Si es lo último, la respuesta es sí; el polinomio de grado \( n \) tiene como máximo \( n-2 \) puntos de inflexión. Esto se desprende de la aplicación de la definición de punto crítico y teorema fundamental del álgebra.

Si el polinomio \( p(x) \) tiene grado \( n \), para buscar puntos críticos ha de satisfacer \( p'(x)=0 \), esto significa que \( p'(x) \) tiene a lo sumo \( n-1 \) puntos críticos. Para buscar los puntos de inflexión hay que establecer \( p''(x)=0 \), el cual, nuevamente, ahora como máximo tendrá \( n-2 \) raíces, es decir puntos de inflexión.

Saludos

[Fernando Revilla]

Supongamos que \( n \) es un entero positivo y que \(  k \) es un entero tal que \( 0\leq{k}\leq{n-2} \). ¿Existe siempre un polinomio de grado \( n \) que tenga exactamente \( k \) puntos de inflexión?

No existe siempre. Elige \( n=3 \) y \( k=0 \). Todo polinomio de grado \( 3 \) es de la forma \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \) con \( a\ne 0 \) y siempre tiene exactamente un punto de inflexión i.e. \( k=1 \) necesariamente.

[manooooh]

Hola Fernando

Si bien es cierto lo que dices, no veo cómo has entendido el enunciado del ejercicio. Dice "\( k \) UN entero tal que...", dice que es alguno del intervalo, pero no especifica cuál. Caso contrario si dijese "\( k \) son todos los enteros entre...".

Por eso pienso que ese \( k \) podemos elegirlo siempre a nuestra conveniencia. ¿Cómo lo interpretaste tú?

Saludos

[Fernando Revilla]

Por eso pienso que ese \( k \) podemos elegirlo siempre a nuestra conveniencia. ¿Cómo lo interpretaste tú?

Parece que tal como está redactado,

Supongamos que \( n \) es un entero positivo y que \(  k \) es un entero tal que \( 0\leq{k}\leq{n-2} \). ¿Existe siempre un polinomio de grado \( n \) que tenga exactamente \( k \) puntos de inflexión?

\( n \) es dado y \( k \) también es dado.

[Fernando Revilla]

Relacionado, incluyo el artículo: Sobre una propiedad geométrica de la función polinómica de grado \( n \).