[nktclau]

Hola Gente! me solicitan hallar la primitiva o antiderivada de
\( f(x)=\begin{cases}{-1}&\text{si}&x<0\\1 & \text{si}&x>0\end{cases} \), hasta aca no se ha visto integrales definidas, mucho menos impropias.
¿de que forma si no se puede usar definidas se resuelve \( \displaystyle\int f(x)dx \)?

Gracias!

[Fernando Revilla]

Hola Gente! me solicitan hallar la primitiva o antiderivada de
\( f(x)=\begin{cases}{-1}&\text{si}&x<0\\1 & \text{si}&x>0\end{cases} \), hasta aca no se ha visto integrales definidas, mucho menos impropias.

La función \[ F(x)=\begin{cases}{-x}&\text{si}& x<0\\\;\;x& \text{si}& x>0\end{cases} \] verifica \( F^\prime (x)=f(x) \) para todo \( x\in \mathbb{R}\setminus \left\{{0}\right\} \). Es decir, una primitiva de \( f(x) \) en \( \mathbb{R}\setminus \left\{{0}\right\} \) es \( F(x)=|x| \).

[ciberalfil]

Resumiendo:

\( \displaystyle f(x)=sgn(x)=\left \{\begin{array}{rcl}{-1}&\text{si}&x<0\\0 & \text{si}&x=0\\1 & \text{si}&x>0\end{array}\right\}\qquad\Rightarrow{}\qquad F(x)=\int_{}^{}sgn(x)dx=abs(x)+Cte=|x|+Cte=\left\{\begin{array}{rcl}-x+Cte &\text{si}& x<0\\ Cte & \text{si}& x=0\\\;\;x+Cte & \text{si}& x>0\end{array}\right\} \)

salvando el caso de \( x=0 \) en el que la función signo, tal y como se suele definir, se anula y en el ejemplo propuesto no está definida, pero salvando el punto x=0 el resto es igual.

Salu2

[nktclau]

Hola Fernando Revilla y ciberalfil muchísimas gracias por responder, antes que nada y la gran ayuda.

Resumiendo:

\( \displaystyle f(x)=sgn(x)\qquad\Rightarrow{}\qquad \int_{}^{}sgn(x)dx=|x|+Cte \)

salvando el caso de \( x=0 \) en el que la función signo, tal y como se suele definir, se anula y en el ejemplo propuesto no está definida, pero salvando el punto x=0 el resto es igual.

Salu2

¿Puedo afirmar por la definición de antiderivada que si tengo \( F(X)= \int f(x) \) entonces \( Dom f(x)=Dom F(x) \) siempre


Gracias!!

[ciberalfil]

Creo que no.

[Fernando Revilla]

¿Puedo afirmar por la definición de antiderivada que si tengo \( F(X)= \int f(x) \) entonces \( Dom f(x)=Dom F(x) \) siempre

Sí, lo puedes afirmar. Si lees diferentes libros de Cálculo aparece la siguiente definición:

Una antiderivada de una función \( f \) es una función \( F \) que cumple \( F^\prime=f \).

Supongamos que \( D(f)\ne D(F) \). Entonces, o bien \( D(f)\not\subset D(F) \) o bien \( D(F)\not\subset D(f) \).

• Si \( D(f)\not\subset D(F) \) entonces, existe \( x\in D(f) \) tal que \( x\notin D(F) \) lo cual implica que no existe \( F^\prime (x) \) y por tanto la igualdad \( F^\prime (x)=f(x) \) no tiene sentido. Esto contradice \( F^\prime =f \) (concepto de igualdad de funciones).
• Si \( D(F)\not\subset D(f) \) entonces, existe \( x\in D(F) \) tal que \( x\notin D(f) \) lo cual implica que no existe \( f (x) \) y por tanto la igualdad \( F^\prime (x)=f(x) \) no tiene sentido. Esto de nuevo contradice \( F^\prime =f \).

Debido a todo lo anterior, un cuidadoso libro de Cálculo definiría:

Si \( f \) y \( F \) son funciones con el mismo dominio, se dice que \( F \) es antiderivada de \( f \) si \( F^\prime=f \).

O bien, todo lo que hemos comentado lo daría como obervación, o lo propondría como ejercicio.

[nktclau]

MUCHÍSIMAS GRACIAS Fernando Revilla Un lujo su explicación 

Saludos