Hola
Demuéstrese usando la definición de límite de una función a través de sucesiones que:
Si \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=A \) y \( A>0 \), entonces \( \exists{}\epsilon>0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\epsilon \) entonces \( f(x)>0 \)
Entiendo que por definición de límite a través de sucesiones te refieres a lo siguiente:
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=A\quad \Leftrightarrow{} \) para toda sucesión \( \{x_n\}\subset \Bbb R-\{x_0\} \) convergente a \( x_0 \), se cumple \( \{f(x_n)\}\to A \) (*)
Entonces puedes probar lo que te piden por reducción al absurdo. Supón que \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=A \) y \( A>0 \), pero:
no existe \( \epsilon>0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\epsilon \) entonces \( f(x)>0 \)
Esto último equivale a que:
para todo \( \epsilon>0 \) existe \( x \) con \( 0<|x-x_0|<\epsilon \) tal que \( f(x)\leq 0 \)
Pero entonces dado \( \epsilon=1/n \) existe \( x_n \) con \( 0<|x_n-x_0|<\dfrac{1}{n} \) tal que \( f(x_n)\leq 0 \) (**)
Eso quiere decir que la sucesión \( \{x_n\}\to x_0 \). Por (*) debería de ocurrir que \( f(x_n)\to A \). Entonces tiene que existir \( n_0 \) tal que \( |f(x_{n_0})-A|<A/2 \) y por tanto \( f(x_{n_0})>A/2>0 \). Pero eso contradice (**).
Saludos.
