Hola
Bien, he tenido tiempo de hacer algunas cuentas.
Si escogemos como función interpoladora:
\( h(t)=a+b*Cos(\displaystyle\frac{2 \pi t}{52}+c) \)
y minimizamos el error por mínimos cuadrados, se obtiene (hecho con Mathematica 5.0):
\( h(t)=5.87788+1.39155*Cos(\displaystyle\frac{2 \pi t}{52}+0.0240676) \)
En la siguiente gráfica puedes comparar tus datos con la función que interpola:
Una opción alternativa y muy óptima para funciones periódicas es utilizar una serie de Fourier. Buscamos una función:
\( h(t)=a_0+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_n cos(\displaystyle\frac{2n\pi t}{T})+b_nsin(\displaystyle\frac{2n\pi t}{T})) \)
donde
\( a_0=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T} h(t)dt \)
\( a_n=\displaystyle\frac{2}{T}\displaystyle\int_{0}^{T} h(t) cos(\displaystyle\frac{2n\pi t}{T})dt \)
\( b_n=\displaystyle\frac{2}{T}\displaystyle\int_{0}^{T} h(t) sin(\displaystyle\frac{2n\pi t}{T})dt \)
siendo \( T \) el período (en nuestro caso T=52).
La ventaja es que ahora los coeficientes \( a_n,b_n \) pueden aproximarse calculando una discretización de las integrales sobre los datos conocidos. En tu caso:
\( a_0=\displaystyle\frac{1}{52}\displaystyle\sum_{k=1}^{52}{}h_k dt \)
\( a_n=\displaystyle\frac{2}{52}\displaystyle\sum_{k=1}^{52}{}h_k cos(\displaystyle\frac{2n\pi k}{T})dt \)
\( b_n=\displaystyle\frac{2}{52}\displaystyle\sum_{k=1}^{52}{}h_k sin(\displaystyle\frac{2n\pi k}{T})dt \)
Por supuesto no podemos calcular infinitos coeficientes de Fourier, pero un número pequeño de ellos bastará para una buena interpretación. Es decir trabajaremos con una función:
\( H_N(t)=a_0+\displaystyle\sum_{n=1}^N{}a_n cos(\displaystyle\frac{2n\pi t}{T})+b_nsin(\displaystyle\frac{2n\pi t}{T})) \)
Como ejemplo te presento unas gráficas donde aparecen: los datos en rojo, la aproximación que di al principio en verde, y otra utilizando series de Fourier en tonos morados. Para esta última voy aumentando cada vez el número N de coeficientes:
\( N=1 \)
¿Dónde está el verde?... solapado. Mi aproximación inicial coincide con la serie de Fourier restringida a N=1.
\( N=2 \)
Fíjate como mejora al tomar N=2.
\( N=3 \)
Ahora para N=3, la aproximación es todavía mejor que antes (¡afina la vista!) y muy muy ajustada a los datos.
Saludos.
P.D. Si necesitas los coeficientes de Fourier házmelo saber.
