[martiniano]

DETERMINACION DE CONICAS II

Los tipos de condiciones que definen los problema de determinación de cónicas que vamos a analizar son los siguientes:

R: Se conoce una recta tangente a la cónica.
P: Se conoce un punto de la cónica.
F: Se conoce un foco de la cónica. Equivale a dos condiciones de uno de los tipos anteriores.

Esto da lugar a 12 problemas. Si tenemos los dos focos, el asunto es bastante trivial

FFP. Trivial
FFR. El simétrico de uno de los focos con respecto a la recta está en la circunferencia focal del otro, de donde se saca el eje mayor.

Si tenemos un foco, se reduce a un problema de Apolonio.

FPPP. Las tres circunferencias con centro en cada punto y que pasan por el foco son tangentes a la circunferencia focal del otro foco. Dicha circunferencia se puede sacar entonces resolviendo un problema de Apolonio CCC. En este caso, se resulve fácilmente por inversión, ya que las tres circunferencias comparten un punto.
FPPR. El simétrico del foco con respecto a la recta está en la circunferencia focal del otro foco, luego se puede hallar mediante un Apolonio CCP. Como las dos circunferencias comparten un punto es aconsejable aplicar inversión.
FPRR. Similar a los anteriores. En este caso se reduce a un Apolonio PPC
FRRR. Éste se reduce a un Apolonio PPP, es decir, a hallar la circunferencia circunscrita de un triángulo.

Si no conocemos ningún foco, el problema se puede reducir al de encontrar una cónica conocidos tres puntos y dos rectas tangentes en dos de ellos o a su dual. Estos seis problemas, se halla a su vez dualmente apareados.

PPPPP (o 5P). Aplicando el teorema de Pascal se puede hallar la tangente en el punto que se quiera. Aplicando esto dos veces ya hemos reducido el problema.


RRRRR (5R). El dual del anterior. Por el teorema de Brianchon se halla el punto de tangencia en las rectas que se quiera.


PPPPR (4PR). Por el teorema de Desarges se halla el punto de tangencia en la recta y queda un PPPPP. Tener en cuenta que dados cuatro puntos, los tres pares de rectas que los unen dos a dos son tres de las cónicas que pasan por esos puntos. Bastan dos de ellas para definir la involución cuyo punto doble es el requerido.


PRRRR (4RP). Por el teorema de Sturm se halla la recta tangente en el punto y queda un RRRRR. Tener en cuenta que dadas las cuatro rectas y un punto, las dos rectas que pasan por cada uno de los tres pares de puntos en los que las cuatro rectas del enunciado se cortan dos a dos son una cónica degenerada tangente a las cuatro rectas. Con dos parejas de esas tres parejas de rectas ya queda definida la involución cuya recta doble es la requerida.

[martiniano]

PPPRR. Llamemos \( A,B,C \) a los puntos y \( t_d,t_e \) a las rectas. Entonces, las dos rectas son una sola cónica, degenerada, que por el teorema de Desargues corta a la recta \( AB \) en puntos de una involución de la que \( A \) y \( B \) son también homólogos. Con esto queda definida la involución, cuyos punto doble pertenece a la recta que une los puntos de tangencia de \( t_d \) y \( t_e \), que también es una cónica degenerada. Se hace lo mismo con la recta \( AC \) (o con \( BC \)) y ya se pueden hallar dichos puntos de contancto, con lo que el problema ya se ha reducido. En el dibujo sólo he dibujado una de las cuatro cónicas posibles.



PPRRR. Llamemos \( t_a,t_b,t_c \) a las rectas y \( D,E \) a los puntos. Entonces, las dos rectas que unen los dos puntos con la intersección de \( t_a \) con \( t_b \) son tangentes a la cónica (degenerada) que forman ellas dos mismas, luego por el teorema de Sturm forman parte de una involución de la que también son homólogas \( t_a \) y\( t_b \), con lo que ya queda dicha involución definida. El polo de la recta \( DE \) está en la recta doble de esa involución. Haciendo lo mismo con las rectas \( t_b \) y \( t_c \) se halla otra recta sobre la que se halla el polo y uniendo ese polo con \( D \) y con \( E \) ya se tienen las tangentes en esos puntos y el problema se reduce. En el dibujo sólo he dibujado una de las cuatro cónicas posibles.


A menudo se substituye una de las condiciones de tipo P o R por la condición de que la cónica es una parábola. Aquí básicamente nos están diciendo que la cónica es tangente a la recta impropia. También, a veces, nos dan la dirección de su eje, con lo que nos estarían dando un punto de la cónica, su punto impropio. En estos casos particulares, las construcciones que hay que hacer se simplifican bastante.

Otras veces, la cónica que se pretende determinar es una hipérbola cuyas asíntotas (o alguna de ellas) son conocidas. Conocer una asíntota equivale a conocer un punto de la cónica (el impropio de la asíntota) y su recta tangente (la propia asíntota), así que estamríamos, en realidad, ante un caso de los anteriores.

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