[martiniano]

DETERMINACIÓN DE CÓNICAS I

Determinar una cónica conocidos dos diámetros conjugados \( AB \) y \( CD \)

Empecemos con el caso de la elipse. Sea \( MM'N'N \) el paralelógramo tal que \( M'M \) es paralela a \( CD \) Y \( N'N \) paralela a \( AB \) como muestra el dibujo. Claramente el centro \( O \) del paralelogramo es también el centro de la elipse. Al ser \( AC \) y \( AD \) cuerdas suplementarias, entonces los diámetros situados sobre \( M'N \) y \( MN' \) también son conjugados, luego ya está definida la involución de diámetros conjugados, que corta a la recta \( M'M \) en una involución de puntos, de la que se conoce su centro \( B \) y dos homólogos \( M',M \). Se hallan los puntos \( P \) y \( Q \) situados en la mediatriz de \( M'M \) tales que \( BP=BQ=BM \). El haz de circunferencias que pasa por \( P \) y \( Q \) corta a la recta \( M'M \) en puntos de esa involución. Basta hallar la que pasa por \( O \) para hallar el par de puntos homólogos \( E-E' \) que pertenecen a los ejes.

Llamando \( CN=a' \), \( MB=b' \) y \( a,b \) las magnitudes de los ejes principales, en el triángulo \( OBP \) se cumple, aplicando el teorema del coseno y las fórmulas de Apolonio, que \( OQ^2=a'^2+b'^2-2a'b'\cos(\alpha+\pi/2)=a'^2+b'^2+2a'b'\sin\alpha=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2 \). De aquí que \( OQ=a+b \) y, por razones similares \( OP=a-b \), de donde se puede sacar las magnitudes de los ejes \( a=(OQ+OP)/2 \) y \( b=(OQ-OP)/2 \) para finalmente dibujar la elipse


El caso de la hipérbola es muy parecido. Quizás valga la pena mencionar que las rectas dobles de la involución de diámetros conjugados son las asíntotas, ya que las polares de sus puntos impropios son ellas mismas.

[martiniano]

Determinar una cónica conocidos tres puntos \( A,B,C \) y las tres tangentes en ellos \( t_a,t_b,t_c \).

Para empezar, habría que aclarar que para determinar una cónica bastan tres tangentes y dos de sus puntos de tangencia, o tres puntos y dos tangentes en dos de ellos. Ambos casos se transforman fácilmente a la situación del enunciado hallando el elemento que falta por el teorema de Brianchon o de Pascal respectivamente.

Vayamos pues al enunciado. Sean \( P,Q,R \) los puntos de intersección de las tres rectas entre ellas. El centro \( O \) de la cónica se puede determinar teniendo en cuenta que en él se cortan las rectas que pasan por los puntos \( P,Q,P \) y los puntos medios de sus respectivos segmentos polares.


Una vez hallado el centro es fácil hallar tres parejas de diámetros conjugados. Por ejemplo, la recta \( OA \) es la conjugada de la paralela a \( t_a \) por O. Bastan dos de esos tres pares para que quede determinada la involución de diámetros conjugados y poder determinar así las direcciones de los ejes (rectas principales) si la cónica es una elipse y las asíntotas (rectas dobles) si la cónica es una hipérbola.


En el caso de ser una elipse, para determinar la magnitud de sus ejes, se halla la intersección \( D \) de la recta \( AC \) con uno de los ejes. Por estar \( D \) en la polar de \( Q \) la polar de \( D \) pasa por \( Q \), además por estar \( D \) sobre uno de los ejes principales, su polar es perpendicular a dicho eje. Con esto se halla la polar de \( D \) y su intersección, \( D' \), con el eje. El par de puntos \( D-D' \) forma parte de una involución cuyo centro es \( O \), el centro de la cónica, y cuyos puntos dobles, \( V_1 \) y \( V_2 \) son los vértices de la cónica.


Después, se puede sacar la magnitud del otro eje mediante las circunferencias principales y para acabar los focos.

[martiniano]

Si la cónica es una hipérbola, una vez determinadas las asíntotas como las rectas dobles de la involución de diámetros conjugados, se hallan los ejes haciendo las bisectrices y luego la magnitud del eje real de forma parecida a como se ha hecho con la elipse. En los siguientes dibujos se ven los pasos equivalentes a los anteriores si la cónica es una hipérbola.





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