[Julio_fmat]

Demuestra que la proyección estereografica es un mapeo conforme.

Hola, como podemos hacer este problema?

[Luis Fuentes]

Hola

Demuestra que la proyección estereografica es un mapeo conforme.

Hola, como podemos hacer este problema?

Una aplicación es conforme si conserva ángulos; equivalentemente si las primeras formas fundamentales para parametrizaciones compatibles son proporcionales.

Entonces considera la inversa de la proyección estereográfica que es precisamente una parametrización de la esfera:

\( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 \)

\( f(u,v)=\left(\dfrac{2u}{1+u^2+v^2},\dfrac{2v}{1+u^2+v^2},\dfrac{-1+u^2+v^2}{1+u^2+v^2}\right) \)

En \mathbb{R}^2 tenemos directamente el producto escalar usual, es decir, la primera forma fundamental es la identidad en todo punto. En la imagen la forma fundamental que nos da la propia parametrización es:

\( \left(\begin{matrix}{f_u\cdot f_u}&{f_u\cdot f_v}\\{f_v\cdot f_u}&{f_v\cdot f_v}\\\end{matrix}\right) \)

Compruebas que obtienes un múltipo de la identidad.

Spoiler

En particular:

\( \dfrac{4}{(1+u^2+v^2)^2}\cdot Id \).

[cerrar]

Saludos.

[Julio_fmat]

Hola

Demuestra que la proyección estereografica es un mapeo conforme.

Hola, como podemos hacer este problema?

Una aplicación es conforme si conserva ángulos; equivalentemente si las primeras formas fundamentales para parametrizaciones compatibles son proporcionales.

Entonces considera la inversa de la proyección estereográfica que es precisamente una parametrización de la esfera:

\( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 \)

\( f(u,v)=\left(\dfrac{2u}{1+u^2+v^2},\dfrac{2v}{1+u^2+v^2},\dfrac{-1+u^2+v^2}{1+u^2+v^2}\right) \)

En \mathbb{R}^2 tenemos directamente el producto escalar usual, es decir, la primera forma fundamental es la identidad en todo punto. En la imagen la forma fundamental que nos da la propia parametrización es:

\( \left(\begin{matrix}{f_u\cdot f_u}&{f_u\cdot f_v}\\{f_v\cdot f_u}&{f_v\cdot f_v}\\\end{matrix}\right) \)

Compruebas que obtienes un múltipo de la identidad.

Spoiler

En particular:

\( \dfrac{4}{(1+u^2+v^2)^2}\cdot Id \).

[cerrar]

Saludos.

Muchas Gracias, una consulta.

Debemos calcular los coeficientes de esa matriz? Por ejemplo, como obtener \( \dfrac{4}{(1+u^2+v^2)^2}id \)? Haciendo un par de calculos tenemos que \( f_u(u,v)=\left(\dfrac{2-2u^2+2v^2}{(1+u^2+v^2)^2},\dfrac{-4uv}{(1+u^2+v^2)^2},\dfrac{4u}{(1+u^2+v^2)^2} \right) \). Luego, \( E=f_u\cdot f_u=\dfrac{4(1+2u^2+2v^2+u^4+v^4+4u^2v^2)}{(1+u^2+v^2)^4} \) que no es un multiplo de la identidad.

No se si comprendi bien la idea.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas Gracias, una consulta.

Debemos calcular los coeficientes de esa matriz? Por ejemplo, como obtener \( \dfrac{4}{(1+u^2+v^2)^2}id \)? Haciendo un par de calculos tenemos que \( f_u(u,v)=\left(\dfrac{2-2u^2+2v^2}{(1+u^2+v^2)^2},\dfrac{-4uv}{(1+u^2+v^2)^2},\dfrac{4u}{(1+u^2+v^2)^2} \right) \). Luego, \( E=f_u\cdot f_u=\dfrac{4(1+2u^2+2v^2+u^4+v^4+4u^2v^2)}{(1+u^2+v^2)^4} \) que no es un multiplo de la identidad.

No tiene sentido que digas que un número aislado no es múltiplo de la identidad. Lo que has obtenido es el el término en la fila \( 1 \) columna \( 1 \) de la matriz de la primera forma fundamental y si es múltiplo de \( 1 \) incluso aunque las cuentas estuvieran mal. ¡Cualquier número es múltiplo de \( 1 \)!.

Por otra parte puedes simplificar tu expresión teniendo en cuenta que:

\( 1+2u^2+2v^2+u^4+v^4+4u^2v^2=(1+u^2+v^2)^2 \)

Saludos.