...Si lo pongo como ecuaciones diferenciales me sale:
\( m*\frac{d\overline{v}}{dt}=q*\overline{v}\times\overline{B} \\
\frac{d\overline{v}}{dt}-\frac{q}{m}\overline{v}\times\overline{B}=0 \\
\)
Sacando las tres coordenadas:
\(
\frac{d\overline{v_x}}{dt}-\frac{q}{m}*(v_y*Bz-v_z*By)=0\\
\frac{d\overline{v_y}}{dt}+\frac{q}{m}*(v_x*Bz-v_z*Bx)=0\\
\frac{d\overline{v_z}}{dt}-\frac{q}{m}*(v_x*By-v_y*Bx)=0\\
\)
....
Es lo que te escribí antes, ese sistema de ED , matricialmente se escribe como: \( V' = \dfrac{q}{m}B_{\times}^t V \) siendo \( B_{\times} \) la matriz producto cruz correspondiente al campo magnético.
Escribimos \( B \) de la forma
\( B_{\times}^t = \begin{bmatrix} 0 & b_z & -b_y \\ -b_z & 0 & b_x \\ b_y & -b_x & 0 \end{bmatrix} = b\begin{bmatrix} 0 & u_z & -u_y \\ -u_z & 0 & u_x \\ u_y & -u_x & 0 \end{bmatrix} = b\;U \) siendo la matriz formada por el vector unitario correspondiente a la dirección del campo.
Queda: \( V'=\underbrace{\frac{qb}{m}}_{\omega}U\;V \) Cuya solución es vox-populi que es \( V= e^{U\omega t} V_0 \)
Por suerte, como \( U \) tiene la propiedad de \( U^3=-U\;,\;U^4=-U^2\;,\;U^5=U \cdots \) nos evitamos el cálculo de \( e \) elevado a una matriz porque resulta:
\( e^{U \theta} = I + \sin\theta\;U + (1-\cos\theta)\;U^2 \)
De \( V=\left(I + \sin(\omega t)\;U + (1-\cos(\omega t) \;U^2\right)V_0 \) integrar respecto del tiempo para obtener la posición es trivial.
De todas maneras, considerar el campo constante dentro del entorno me parece que va a introducir mucho error. Pero eso complicaría mucho porque quizás habría que caer en elementos finitos y me pregunto si no sería mas negocio buscar dentro de los softwares de simulación electromagnética si alguno contempla movimiento de partículas.
