[dario_oasis]

Disculpen me podrian decir si este ejercicio esta bien resuelto?

Determinar (si existen)los extremos locales y puntos de silla de la función:
\( 2)f(x,y)=(x-x^2)(1/2y-y^2) \)

1)\( \displaystyle\frac{af}{ax}=(1-2x)(1/2y-y^2)=0 \)
2)\( \displaystyle\frac{af}{ay}=(1/2-2y)(x-x^2)=0 \)

1)x=1/2, y=0, o y=1/2

reemp en (2)

si x=1/2,y=1/4;
si y=0;x=0; o x=1;
si y=1/4;x=0; o x=1;

PC:
p1(1/2,1/4), p2=(0,0),p3=(1,0),p4=(0,1/4),p5=(1,1/4)

HF(1/2,1/4)=\( \begin{bmatrix}{-2(1/2Y-Y^2+(1-2X)(0)}&{(1/2-2Y).(1-2X)}\\{(1-2x)(1/2-2y)+0}&{(-2)(x-x^2)+(1/2-2y).(0)}\end{bmatrix} \)

hf(p1)=\( \begin{bmatrix}{-1/8}&{0}\\{0}&{-1/2}\end{bmatrix} \)=1/16 y \( \displaystyle\frac{a^2f}{ax^2}<0 \) maximo local en p1

HF(0,0)=\( \begin{bmatrix}{0}&{1/2}\\{1/2}&{0}\end{bmatrix} \)=-1/4<0 punto de silla en p2

HF(1,0)=\( \begin{bmatrix}{0}&{-1/2}\\{-1/2}&{0}\end{bmatrix} \)=-1/4<0 punto de silla en p3

HF(0,1/4)=\( \begin{bmatrix}{0}&{-1/2}\\{-1/2}&{0}\end{bmatrix} \)=-1/4<0 punto de silla en p4

HF(1,1/4)=\( \begin{bmatrix}{-1/8}&{0}\\{0}&{-1/2}\end{bmatrix} \)=1/16 >0 maximo local en (p5)

[manooooh]

Hola

PC:
p1(1/2,1/4), p2=(0,0),p3=(1,0),p4=(0,1/4),p5=(1,1/4)

Los últimos dos puntos no verifican; deben ser \( P_4=(0,1/2) \) y \( P_5=(1,1/2) \). Además se debería aclarar que son puntos estacionarios ya que todos anulan al gradiente, por ser la función de clase \( 1 \).

HF(1/2,1/4)=\( \begin{bmatrix}{-2(1/2Y-Y^2+(1-2X)(0)}&{(1/2-2Y).(1-2X)}\\{(1-2x)(1/2-2y)+0}&{(-2)(x-x^2)+(1/2-2y).(0)}\end{bmatrix} \)

hf(p1)=\( \begin{bmatrix}{-1/8}&{0}\\{0}&{-1/2}\end{bmatrix} \)=1/16 y \( \displaystyle\frac{a^2f}{ax^2}<0 \) maximo local en p1

HF(0,0)=\( \begin{bmatrix}{0}&{1/2}\\{1/2}&{0}\end{bmatrix} \)=-1/4<0 punto de silla en p2

HF(1,0)=\( \begin{bmatrix}{0}&{-1/2}\\{-1/2}&{0}\end{bmatrix} \)=-1/4<0 punto de silla en p3

Salvo notación algo confusa (por ejemplo el primer hessiano debería indicarse \( H_f(x,y) \) y no evaluada en un punto, o cuando das un valor para la matriz en algún punto los corchetes no van sino la notación del determinante), está bien. Recordá rehacer los últimos dos puntos.

Creo que al pedir "determinar extremos locales" te piden que digas "En \( P_i \) se encuentra un máximo/mínimo local/punto de ensilladura de valor \( f(P_i) \)".

Es decir, te faltaría indicar el valor que produce el extremo en cada caso, aunque no estoy muy seguro. Para esto esperá a alguien más.

Saludos

P.D. Por favor utilizá \( \mathrm\LaTeX \) para todas las expresiones matemáticas.