Hola como estan? disculpen, me podrían ayudar con este ejercicio por favor? Es teórico:
Supongamos que \( f:R^3\rightarrow{R} \) tiene derivadas parciales continuas y que \( r:[a,b]\rightarrow{R^3} \) es una trayectoria con derivada continua a trozos. Entonces
\( \displaystyle\int_{}^{c} \nabla{f}.dr=f(r(b))-f(r(a)) \)
Sin pérdida de generalidad supón que \( r\in C^1([a,b],\Bbb R^3) \), entonces si \( C:=r([a,b]) \) tenemos que
\( \displaystyle \int_C \nabla f(r(t))\cdot\, dr(t)=\int_a^b (f_x\circ r)(t)r'_x(t)\, dt+ \int_a^b (f_y\circ r)(t) r'_y(t)\, dt+\int_a^b (f_z\circ r)(t) r'_z(t)\, dt\tag1 \)
donde \( \nabla f:=(f_x,f_y,f_z) \) y \( r:=(r_x,r_y,r_z) \) y el punto \( \cdot \) representa un producto escalar. Por tanto te quedaría por comprobar si es cierto que
\( \displaystyle(f\circ r)'(t)=(f_x\circ r)(t)r'_x(t)+(f_y\circ r)(t)r'_y(t)+(f_z\circ r)(t)r'_z(t)=\nabla f(r(t))\cdot r'(t)\tag2 \)
y aplicar el teorema fundamental del cálculo.
CORRECCIÓN: un pequeño desliz. Originalmente al final de (2) tenía \( dr(t) \) en vez de \( r'(t) \).
