[dario_oasis]

Hola como estan? disculpen como puedo proobar esto?

Si una función es diferenciable probar que entonces la diferenciabilidad es única.

[Masacroso]

Hola como estan? disculpen como puedo proobar esto?

Si una función es diferenciable probar que entonces la diferenciabilidad es única.

¿La diferenciabilidad o la derivada? Supongo será lo segundo, lo primero es una pregunta muy extraña.

Pues observa que la derivada en un punto viene definida por un límite funcional, y todo límite funcional convergente tiene un único valor posible.

Ahora bien, ¿por qué un límite funcional convergente tiene un único valor posible? Supón que tuviese dos valores, entonces la definición de límite no podría cumplirse para ambos valores a la vez, basta tomar un \( \epsilon<|L_1-L_2|/2 \) para comprobarlo suponiendo que \( L_1 \) y \( L_2 \) fuesen dos valores posibles para el límite.

[Juan Pablo Sancho]

Supongo que se refiere a la diferencial:
Sea \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m  \) diferenciable en \( x_0 \in A \subset \mathbb{R}^n  \) con \( A \) abierto.
Sea \( T(x_0)  \) su diferencial entonces:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\| f(x_0+h) - f(x_0) - T(x_0)(h)\|}{\|h\|} = 0  \), supongamos que tiene otra diferencial en \( x_0 \) , digamos \( S(x_0) \) entonces:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\| f(x_0+h) - f(x_0) - S(x_0)(h)\|}{\|h\|} = 0  \) nos queda:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\| f(x_0+h) - f(x_0) - S(x_0)(h) - (f(x_0+h) - f(x_0) - T(x_0)(h))}{\|h\|} = 0  \)
Pero:
\( \displaystyle \| f(x_0+h) - f(x_0) - S(x_0)(h) - (f(x_0+h) - f(x_0) - T(x_0)(h))\| =  \|S(x_0)(h) - T(x_0)(h)\|  \)
Ahora puedes poner \(  h = t \cdot \vec{e_i}  \) con \( t \to 0  \) y \( \vec{e_i}  \) vector de la base canónica y continuar.