Hola!
Hallar el número de aristas y vértices de un grafo completo y de un grafo bipartito completo.
Voy a reescribir lo que hizo el profesor más o menos con mis palabras porque él lo hizo a vuelapluma y ustedes me dicen, por favor, si está bien redactado:
Sabemos que
\( \begin{matrix}\displaystyle\sum_{v\in V}{g(v)}&=&2|A|\,.\end{matrix} \)
Un grafo completo se lo denota \( K_n \), es decir tiene \( n \) vértices. Por tanto se cumple que \( \begin{matrix}\forall v\in V,&&g(v)&=&n-1\end{matrix}. \)
Reemplazando en la primera expresión se obtiene la cantidad de aristas:
\( \begin{matrix}n(n-1)&=&2|A|&&\Rightarrow&&|A|&=&\dfrac{n(n-1)}{2}\end{matrix} \)
y la cantidad de vértices es
\( \begin{matrix}\displaystyle\sum_{v\in V}{g(v)}&=&2|A|&=&n(n-1)\,.\end{matrix} \)
Un grafo bipartito completo tiene la forma \( K_{n,m} \), donde
\( \begin{matrix}n:&&g(v)&=&m\\m:&&g(v)&=&n\,.\end{matrix} \)
Por tanto la cantidad de aristas es
\( \begin{matrix}\displaystyle\sum_{v\in V}{g(v)}&=&2|A|\\nm+mn&=&2|A|\\2nm&=&2|A|\\|A|&=&nm\end{matrix} \)
y la cantidad de vértices
\( \begin{matrix}\displaystyle\sum_{v\in V}{g(v)}&=&2|A|&=&2nm\,.\end{matrix} \)
No es necesario explicar cada paso al detalle.
¿Es correcto?
Gracias!
Saludos
