[mvm]

Hola buenas tardes, ¿me podrían ayudar con el siguiente problema?

Un sistema informático dispone de un sistema de seguridad compuesto por tres claves de 3 dígitos (del 0 al 9) cada una. Para entrar en el sistema hay que averiguar la primera clave, luego la segunda y por último la tercera. Un pirata informático intenta entrar ilegalmente en el sistema, para ello va introduciendo al azar distintas claves de forma independiente, olvidando las que ha introducido antes. Calcular el valor esperado y la varianza del número de intentos antes de romper el sistema.

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tengo alguna duda con la interpretación del enunciado.

 1) Si acierta la primera clave, y luego falla la segunda... ¿tiene que volver a acertar la primera? (supongo que no).

 2) ¿Se consideran un intento cada vez que mete un código de tres dígitos, o por el contrario si por ejemplo acertase a la primera las tres claves, contabilizaría como que ha acertado en un sólo intento?.

Saludos.

[mvm]

Hola, creo que este problema se basa en el principio de pérdida de memoria.

1) Si ya ha acertado una clave creo que en cada intento olvida la clave anterior, por tanto sí que tendría que volver a acertarlo

2) Se contabiliza por cada intento de código de tres digitos.

Vamos yo lo he interpretado así, creo que es una Ley Geómetrica con pérdida de memoria.

Estoy equivocado??

[Luis Fuentes]

Hola

 Yo si que tengo pérdida de memoria en mis conocimeintos de estadística. Así que no se si se encuadra en un modelo conocido.

 Pero la cosa podría ir así. Llamamos \( p(n) \) a la probabilidad de romper el sistema en \( n \) intentos. Y llamo \( p=1/1000 \)  a la proabilidad de acertar una de las claves y \( q=1-p \) a su complementario.

 Entonces, como mínimo necesitamos tres intentos. La probabilidad de acertar en \( 3 \) intentos es \( p(3)=p^3 \).

 Ahora, la probabilidad de acertar en \( n>3 \) intentos es fallar el primero y romper el sistema  en los \( n-1 \) restantes; acertar el primero, fallar el segundo y romper en los \( n-2 \) restantes; o finalmente, acertar los dos primeros, fallar el tercero y romperlo en los \( n-3 \) restantes.

 Eso nos da la siguiente relación recursiva:

\(  p(n)=qp(n-1)+pqp(n-2)+p^2qp(n-3) \) para \( n>3 \)

 con

 \( p(1)=p(2)=0, \quad p(3)=p^3 \)

 Ahora queremos hallar la esperanza:

 \( E=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {}n\cdot p(n) \)

  Para ello hay que aplicar la relación recursiva anterior. Recuerda que es válida para \( n>3 \). Ahora tengo que irme. Luego sigo.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo dicho. Sigo.

 Tenemos:

\(  E=3p^3+\displaystyle\sum_{n=4}^\infty{}np(n)= \)
   \( \qquad =3p^3+\displaystyle\sum_{n=4}^\infty{}qnp(n-1)+\displaystyle\sum_{n=4}^\infty{}pqnp(n-2)+\displaystyle\sum_{n=4}^\infty{}p^2qnp(n-3) \) (I)

 Donde:

\( \displaystyle\sum_{n=4}^\infty{}qnp(n-1)=q\displaystyle\sum_{n=4}^\infty{}(n-1)p(n-1)+q\displaystyle\sum_{i=4}^\infty{}p(n-1)= \)
   \( \qquad =q\displaystyle\sum_{n=3}^\infty{}np(n)+q\displaystyle\sum_{n=3}^\infty{}p(n)=qE+q \)

 y análogamente:

\( \displaystyle\sum_{n=4}^\infty{}pqnp(n-2)=pqE+2pq \)

\( \displaystyle\sum_{n=4}^\infty{}p^2np(n-3)=p^2qE+3p^2q \)

 Susituyendo en (I) y despejando \( E \) queda:

\( E=\displaystyle\frac{3p^3+q+2pq+3p^2q}{1-q-pq+p^2q} \)

 El cálculo de la varianza es análogo. 

Saludos.