Hola!
A veces leo en los foros que los términos "diferenciabilidad" y "derivabilidad", matemáticamente hablando, son los mismos en un caso particular. Mi ""crítica"" que puedo hacer, y espero discutirla, es que son dos términos
completamente distintos sea o no particular. Ejemplos de búsqueda:
Resulta bastante obvio que en análisis de funciones de una sola variable real no haya diferencia entre estos dos conceptos, puesto que una aproximación lineal de una función en un punto es una recta tangente a ese punto, o sea la función derivada en el punto. Punto fin.
¿Qué ocurre con funciones de dos variables reales? Ahí ya se nos abre el camino... Decir que una función es derivable en un punto en una cierta dirección es lo mismo que decir que, geométricamente,
es un número real que representa la pendiente de la recta tangente en el punto de la curva que se obtiene cortando la gráfica de la función con un plano vertical cuya traza en el plano \( xy \) es la recta de ecuación \( (x,y)=(x_0,y_0)+h\hat v \). Sin embargo, pedir que una función sea diferenciable es lo mismo que decir que existe un plano tangente, que es una buena aproximación lineal, en ese punto de la gráfica de la función.
Lo que creo que ocurre es que como siempre se ha separado el estudio de funciones de una sola variable real y el estudio de \( n \) variables reales, se crea esta confusión que yo (¿solo?) observo. Lo que debemos pensar es en la generalización, y luego la particularización; y no al revés. De dos conceptos bien generales como pueden ser diferenciabilidad y derivabilidad de funciones de \( n \) variables, debe surgir el caso particular de \( 1 \) sola variable, y en este caso es donde sólo se habla (muchas veces) de derivabilidad, dejando de lado el otro concepto o tratándolo como similar. Pero, como ustedes saben, diferenciabilidad implica derivabilidad (en \( n \) variables), pero que yo recuerde ese mismo concepto no me lo dijeron cuando hice el curso de Cálculo I. ¡Si no estábamos hablando de curvas con dos variables como entradas, por lo que hablar de plano tangente era una locura sino de recta tangente!
¿Me pueden orientar en este sentido, o sea decirme si en una sola variable significan o no lo mismo? ¿Puede ocurrir que estos dos conceptos funcionen bien "globalmente" (\( n \) variables) y cuando lo trasladamos a un caso muy particular (\( 1 \) variable) se creen confusiones, como me pasa a mi?
¿Creen acaso que es tildar a la matemática como imperfecta por usar dos conceptos, aparentemente hasta que me digan lo contrario, como similares cuando generalizándolos sabemos que NO es así? ¿Creen que estoy loco?
Desde ya muchas gracias y saludos
